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2-category と関連した話題

Lack [ Lac07 ] いているように , 2-category ホモトピ として , なのは fundamental 2-groupoid である つまり object をある , 1-morphism (Moore) path, 2-morphism (Moore) homotopy として られるもの である このことから , 2-category π 0 π 1 π 2 のみ として というのは , アイデア のように える そのように たときの , ホモトピ での 2-category としては Toda bracket げら れる

このような analogy にも , 2-category から トポロジ している もちろん , とも して いる

2-category については Ganter Kapranov [ GK08 ] § 2 にまとま ている Mac Lane 二版 [ ML98 ] Chapter XII にも 2-category bicategory についての がある Lack [ Lac10 ] ある

より には bicategory として , associativity unit up to natural isomorphism えるべきである

Bicategory として , Leinster [ Lei ] がある , bicategory strict 2-category bicategory として になる いわゆる coherence theorem ある

2-category bicateogry “functor” やその natural transformation えるときには , 2-morphism れるべきである

2-category として , monoidal category えるのは であ まず monoidal category のことを してから , その 2-category bicategory することを えると しやすい

  • monoidal category object 1 つの bicategory

えば , string diagram 2-category できる というより , 2-category えた である

その monoidal structure 2-category えることもできる Kapranov Voevodsky [ KV94 ] にある 2-category category Gray tensor product たものも , Gordon Power Street [ GPS95 ] Day Street [ DS97 ] などにより えられている

  • monoidal 2-category (bicategory)

にも bicategory えることができる

category model structure morphism する であるが , 2-category model structure には , 2-morphism する をつけるべきで ある これについては , Lack [ Lac10 ] Gambino [ Gam08 ] いて ある

これは , 2-category category 2-morphism したものと えた である , object 1 つの 2-category monoidal category であることから , 2-category monodal category many-objectification とみなすことも であり である この からは , monoidal model category としての 2-category model structure えられる えば , N. Johnson [ Joh ] などで ある

ホモロジ としては , Abel 2 えている Nakaoka [ Nak08 ] がある M. Dupont [ Dup ] もある それらの [ Nak10 ] なわれて いる

2 としては , にも double category とか pseudo category などと がある

Fiore [ Fio07 ] でそれらの “category categorification されている この Fiore , , conformal field theory などへの 念頭 いたも のである Morton [ Mor ] には , strict 2-category bicategory double category して されている その corner cobordism category であるが

2-category するものとしては , Mirmohades [ Mir ] 使 われている sesquicategory sestercategory がある Sesquicategory とは , 2-category horizontal composition vertical composition めたもの , sestercategory sesquicategory enrich されたようなものである

  • sesquicategory
  • sestercategory

Bicategory する Grothendieck construction (homotopy colimit) ている もいる [ CCG11 ] である

このように 2-category (bicategory) 全体 えようとすると , 2-category category えなければならなくなる 3-category になるので であ るが

2-category category には Gray による monoidal structure

  • Gray tensor product

その ( ) として Crans [ Cra99 ] があ たが , その なる ているのが , Weber らの [ BCW Web13 ] である

References

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[Cra99]     Sjoerd E. Crans. A tensor product for Gray -categories. Theory Appl. Categ. , 5:No. 2, 12–69 (electronic), 1999.

[DS97]     Brian Day and Ross Street. Monoidal bicategories and Hopf algebroids. Adv. Math. , 129(1):99–157, 1997, http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1649 .

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[GPS95]     R. Gordon, A. J. Power, and Ross Street. Coherence for tricategories. Mem. Amer. Math. Soc. , 117(558):vi+81, 1995, http://dx.doi.org/10.1090/memo/0558 .

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[Lei]     Tom Leinster. Basic Bicategories, arXiv:math/9810017 .

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