Your language?
Aug, 2017
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31

Small category や topological category などの分類空間

Principal G - bundle BG , から への にな るように できる object つですべての morphism isomorphism である であるから , small category topological category しよ うというのは , アイデア である Borcherds はある Γ Ω 調 べるため , B Γ Ω ホモトピ になるような small category Q 4 するということを [ Bor98 ] ている とにかく , まらず small category topological category えるのが ある

するのはいいが , それが しているのだ , というのは であるが , それについては Weiss [ Wei05 ] がある Weiss にも えがあ てしかるべきだと

さて , small category については , まずは Dwyer [ DH01 ] むと よい G.B. Segal [ Seg68 ] にするとよい この Segal , small category られるようになる けとな としても である とも , Segal , その small category Grothendieck idea によるものだと ている , Cegarra Heredia [ CH14 ] Gagna [ Gag ] では , Grothendieck [ Gro95 ] されて いる

Small category , Quillen ”Higher algebraic K -theory: I” [ Qui73 ] にまとめられている とも , Theorem A, B Segal によるところが きいと いてあるが Small category には , この Quillen には しておくべきである また poset については , Quillen [ Qui78 ] にある

  • Small category C nerve NC Nerve small category から simplicial set への functor である
  • N left adjoint (categorization) [ Tho79 , 1.3 Remark]
  • Small category C BC small category から への functor である

nerve としては , まず のものを ている ある

  • Small category functor
    f,g : C -→ D

    f から g への natural transformation するなら

    Bf ≃ Bg : BC - → BD

    である

    f left adjoint または right adjoint ならば Bf homotopy ある C D として ならば BC BD ホモトピ である

  • C initial object あるいは terminal object つならば BC である
  • C filtering ならば BC である
  • Opposite category をと ても わらない :
    BCop ~= BC

  •          ~
B(C × D) = BC × BD

があれば “mapping space” えるのが であるが , それについては Rezk [ Rez01 ] いてある

  • N ( C D ) w NC ND

Nerve そのものの としては , まず Lee による groupoid nerve [ Lee72 ] がある より small category nerve けは , えば Lurie [ Lur09 ] Proposition 1.1.2.2 として べられている

  • N ( C ) Kan complex である C groupoid であること
  • small category nerve horn からの morphism による (Lurie [ Lur09 ] Proposition 1.1.2.2)

この small category nerve けは , quasicategory するのに である

Functor から された つのがどのような , というの である 有名 事実 として Quillen Theorem A B ある

Small category としては , 以下 のものを ているとよいだ ろう

  • S P ( S ) S 部分 , つまり とする すると
    BP (S) = Map(S,I) ~= I|S|

    ここで | S | S cardinality である

  • Λ Connes cyclic category とすると
    BΛ ~= S1

  • Numerable 被覆 U = { U α } α A X , Segal [ Seg68 ] simplicial space X ( U ) した その X ホモトピ になるので , X ( U ) X “simplicial model” とも える

Segal した 被覆 した simplicial space tom Dieck [ tD71 ] モトピ 全体 ホモトピ になるための 調 べるのに 使 ている Segal Serre spectral sequence いている

Small (topological) category simplicial space なの , その ( ) ホモロジ しては , simplicial space homology spectral sequence 使 える , discrete , E 2 -term collapse , ( ) ホモロジ derived functor としての れる

Small category (co)homology (co)limit derived functor , レベル では homotopy colimit いて えればよい これらのこと については , えば Fiedorowicz Loday [ FL91 ] るとよいかもしれ ない

Homotopy colimit small category では Thomason homotopy colimit theorem 有名 である

えている category がある つとき , その もその ぐこ とが えば , category object “dual” されているとき には , その 2 される これについては , Hesselholt Madsen えているようであるが , とりあえず Dotto thesis [ Dot ] るとよいと

Topological category については , これとい てまとま がない Small category について 事実 , その topological category version , せばどこか にあるかもしれない , という じである えば , functor natural transformation があれば ホモトピ ができる , という topological version , Segal [ Seg68 ] Proposition 2.1 として べてある しかしな がら , すことに 労力 すより small category んで topological category えてみた がず とためになるだ ろう

Discrete category topological category については , [ Fie84 ] がある この , Fiedoriwicz topological category C とその C δ , モトピ になる 調 べている としては , えば いる

  • Hilbert cube manifold M , その ホモトピ のなす monoid H ( M ) わすと , ホモトピ である
             ≃w
BH (M )δ-→  BH (M )

Nerve , dg category A -category へも されている dg category Lurie “Higher Algebra” § 1.3.1 (Construction 1.3.1.6) にある そのすぐ Remark 1.3.1.7 では A -category へも できると いてあるが , れている A -category nerve について しく いたものとして , Faonte [ Fao ] ある

  • nerve of dg category
  • nerve of A -category

Faonte , その pretriangulated dg category nerve stable ( , 1)-category にな ていることを しているが , その A していない それに ついては Mattia [ Orn ] している

もう つの として への えられる これについても にい くつかの みがある

3-category (tricategory) については , Cegarra Heredia [ CH14 ] るとよい

References

[Bor98]     Richard E. Borcherds. Coxeter groups, Lorentzian lattices, and K 3 surfaces. Internat. Math. Res. Notices , (19):1011–1031, 1998, http://dx.doi.org/10.1155/S1073792898000609 .

[CH14]     Antonio M Cegarra and Benjamín A Heredia. Comparing geometric realizations of tricategories. Algebr. Geom. Topol. , 14(4):117–184, 2014, arXiv:1203.3664 .

[DH01]     William G. Dwyer and Hans-Werner Henn. Homotopy theoretic methods in group cohomology . Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Birkhäuser Verlag, Basel, 2001, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-8356-6 .

[Dot]     Emanuele Dotto. Stable real K -theory and real topological Hochschild homology, arXiv:1212.4310 .

[Fao]     Giovanni Faonte. Simplicial nerve of an A category, arXiv:1312.2127 .

[Fie84]     Z. Fiedorowicz. Classifying spaces of topological monoids and categories. Amer. J. Math. , 106(2):301–350, 1984, http://dx.doi.org/10.2307/2374307 .

[FL91]     Zbigniew Fiedorowicz and Jean-Louis Loday. Crossed simplicial groups and their associated homology. Trans. Amer. Math. Soc. , 326(1):57–87, 1991, http://dx.doi.org/10.2307/2001855 .

[Gag]     Andrea Gagna. Strict n -categories and augmented directed complexes model homotopy types, arXiv:1612.04450 .

[Gro95]     Alexander Grothendieck. Techniques de construction et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. III. Préschemas quotients. In S éminaire Bourbaki, Vol.  6 , pages Exp. No. 212, 99–118. Soc. Math. France, Paris, 1995.

[Lee72]     Ming Jung Lee. Homotopy for functors. Proc. Amer. Math. Soc. , 36:571–577; erratum, ibid. 42 (1973), 648–650, 1972, http://dx.doi.org/10.2307/2039200 .

[Lur09]     Jacob Lurie. Higher topos theory , volume 170 of Annals of Mathematics Studies . Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558 .

[Orn]     Mattia Ornaghi. A comparison between pretriangulated A -categories and -Stable categories, arXiv:1609.00566 .

[Qui73]     Daniel Quillen. Higher algebraic K -theory. I. In Algebraic K -theory, I: Higher K -theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972) , pages 85–147. Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973.

[Qui78]     Daniel Quillen. Homotopy properties of the poset of nontrivial p -subgroups of a group. Adv. in Math. , 28(2):101–128, 1978, http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(78)90058-0 .

[Rez01]     Charles Rezk. A model for the homotopy theory of homotopy theory. Trans. Amer. Math. Soc. , 353(3):973–1007 (electronic), 2001, arXiv:math/9811037 .

[Seg68]     Graeme Segal. Classifying spaces and spectral sequences. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. , (34):105–112, 1968, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__105_0 .

[tD71]     Tammo tom Dieck. Partitions of unity in homotopy theory. Composito Math. , 23:159–167, 1971.

[Tho79]     R. W. Thomason. Homotopy colimits in the category of small categories. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 85(1):91–109, 1979, http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100055535 .

[Wei05]     Michael Weiss. What does the classifying space of a category classify? Homology Homotopy Appl. , 7(1):185–195, 2005, http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839512 .