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分類空間

B とは , ある X ( ) , X B への ホモトピ [ X,B ] するような のことで ある

その , Steenrod による G [ Ste51 ] であるが , その されてきた では になり , えていた する からはみ すことが いが , それでも えようとい みはある

, K ( π, 1) である Abel だと ことができて , Eilenberg-Mac Lane space ることができる

G BG えるときには , その universal bundle EG BG えないといけない これが G -principal bundle universal なものであるか らである G -principal bundle E B total space E G する であり , その B であるから , universal bundle universality G -equivariant map E EG けられる このことから , ( コンパクト ) proper action して universal proper G -space EG えられている Proper G -action classifying space とも れる

  • proper G -action universal example (classifying space) EG

これについては , Baum Connes Higson [ BCH94 ] るとよいと 3 Appendix EG について しく べられている

Subgroup family えられた しても することがで きる

  • subgroup family えられた

Survey としては , Lück [ Lüc05 ] がある Connolly Fehrman Hartglass [ CFH ] には , Brown [ Bro79 ] , Farrell Jones [ FJ93 ] , Lück [ Lüc00 ] , Serre [ Ser71 ] げられている Ramras [ Ram ] では small category として されている

としては , parametrized version もある Stevenson Roberts [ RS16 ] ある

  • parametrized principal bundle

G BG G - covering する になるが , 被覆 られている Brand [ Bra80 ] など

するという では , その された する Brown かもしれない

とも , small category のように , する がなく , 部分 して したようなものもある とも small category するかについては , Weiss [ Wei05 ] により られているが

References

[BCH94]     Paul Baum, Alain Connes, and Nigel Higson. Classifying space for proper actions and K -theory of group C * -algebras. In C * -algebras: 1943–1993 (San Antonio, TX, 1993) , volume 167 of Contemp. Math. , pages 240–291. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, http://dx.doi.org/10.1090/conm/167/1292018 .

[Bra80]     Neal Brand. Classifying spaces for branched coverings. Indiana Univ. Math. J. , 29(2):229–248, 1980, http://dx.doi.org/10.1512/iumj.1980.29.29015 .

[Bro79]     Kenneth S. Brown. Groups of virtually finite dimension. In Homological group theory (Proc. Sympos., Durham, 1977) , volume 36 of London Math. Soc. Lecture Note Ser. , pages 27–70. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1979.

[CFH]     Frank Connolly, Benjamin Fehrman, and Michael Hartglass. On The Dimension of The Virtually Cyclic Classifying Space of a Crystallographic Group, arXiv:math/0610387 .

[FJ93]     F. T. Farrell and L. E. Jones. Isomorphism conjectures in algebraic K -theory. J. Amer. Math. Soc. , 6(2):249–297, 1993, http://dx.doi.org/10.2307/2152801 .

[Lüc00]     Wolfgang Lück. The type of the classifying space for a family of subgroups. J. Pure Appl. Algebra , 149(2):177–203, 2000, http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(98)90173-6 .

[Lüc05]     Wolfgang Lück. Survey on classifying spaces for families of subgroups. In Infinite groups: geometric, combinatorial and dynamical aspects , volume 248 of Progr. Math. , pages 269–322. Birkhäuser, Basel, 2005, arXiv:math/0312378 .

[Ram]     Daniel A. Ramras. Orbit categories, classifying spaces, and generalized homotopy fixed points, arXiv:1507.06112 .

[RS16]     David Michael Roberts and Danny Stevenson. Simplicial principal bundles in parametrized spaces. New York J. Math. , 22:405–440, 2016, arXiv:1203.2460 .

[Ser71]     Jean-Pierre Serre. Cohomologie des groupes discrets. In Prospects in mathematics (Proc. Sympos., Princeton Univ., Princeton, N.J., 1970) , pages 77–169. Ann. of Math. Studies, No. 70. Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1971.

[Ste51]     Norman Steenrod. The Topology of Fibre Bundles . Princeton Mathematical Series, vol. 14. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1951.

[Wei05]     Michael Weiss. What does the classifying space of a category classify? Homology Homotopy Appl. , 7(1):185–195, 2005, http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839512 .