分類空間

分 類 空 間 B とは , ある 空 間 X 上 の 幾 何 学 的 対 象 ( 構 造 ) の 集 合 が , X か ら B への ホモトピ ー 集 合 [ X,B ] と 一 対 一 に 対 応 するような 空 間 のことで ある 。

その 原 型 は , Steenrod による 主 G 束 の 分 類 定 理 [ Ste51 ] であるが , その 後 様 々 な 文 脈 に 拡 張 されてきた 。 標 準 的 な 構 成 では 無 限 次 元 になり , 元 々 考 えていた 幾 何 学 的 対 象 の 属 する 圏 からはみ 出 すことが 多 いが , それでも 分 類 空 間 の 幾 何 学 的 構 造 を 考 えようとい う 試 みはある 。

• 分 類 空 間 の 構 成
• ホモトピ ー 論 的 な group completion
• 分 類 空 間 の ホモトピ ー 論
• 分 類 空 間 の 幾 何 学
• characteristic classes

離 散 群 の 場 合 は , K ( π, 1) である 。 Abel 群 の 場 合 だと 分 類 空 間 を 取 る 構 成 を 繰 り 返 す ことができて , Eilenberg-Mac Lane space を 作 ることができる 。

• K ( π, 1)
• Eilenberg-Mac Lane spaces

G の 分 類 空 間 BG を 考 えるときには , その 上 の universal bundle EG → BG も 一 緒 に 考 えないといけない 。 これが G -principal bundle の 中 で universal なものであるか らである 。 G -principal bundle E → B の total space E は G の 作 用 する 空 間 であり , その 商 空 間 が B であるから , universal bundle の universality は G -equivariant map E → EG の 存 在 で 特 徴 付 けられる 。 このことから , 位 相 群 ( 局 所 コンパクト 群 ) の proper action に 対 して universal な proper G -space EG が 考 えられている 。 Proper G -action の classifying space とも 呼 ば れる 。

• proper G -action の universal example (classifying space) EG

これについては , Baum と Connes と Higson の [ BCH94 ] を 見 るとよいと 思 う 。 3 つ の Appendix で EG について 詳 しく 述 べられている 。

Subgroup の family が 与 えられた 群 に 対 しても 分 類 空 間 を 構 成 することがで きる 。

• subgroup の family が 与 えられた 群 の 分 類 空 間

Survey としては , Lück の [ Lüc05 ] がある 。 Connolly と Fehrman と Hartglass の [ CFH ] には , Brown の [ Bro79 ] , Farrell と Jones の [ FJ93 ] , Lück の [ Lüc00 ] , Serre の [ Ser71 ] が 挙 げられている 。 Ramras の [ Ram ] では small category の 分 類 空 間 として 構 成 されている 。

一 般 化 としては , parametrized version もある 。 Stevenson と Roberts の [ RS16 ] で ある 。

• parametrized principal bundle の 分 類 定 理

G が 離 散 群 の 場 合 は BG は G - covering を 分 類 する 空 間 になるが , 分 岐 被覆 を 分 類 す る 空 間 の 構 成 も 知 られている 。 Brand の [ Bra80 ] など 。

幾 何 学 的 構 造 の 集 合 を 表 現 するという 意 味 では , その 最 も 一 般 化 された 形 は 関 手 の 表 現 可 能 性 に 関 する Brown の 表 現 定 理 かもしれない 。

も っ とも , small category の 分 類 空 間 のように , 元 々 分 類 する 幾 何 学 的 対 象 がなく , 位 相 群 の 分 類 空 間 の 構 成 の 本 質 的 な 部分 を 取 り 出 して 一 般 化 したようなものもある 。 も っ とも small category の 分 類 空 間 が 何 を 分 類 するかについては , Weiss [ Wei05 ] により 考 え られているが 。

• small category と topological category の 分 類 空 間

References