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分類空間の構成

Steenrod [ Ste51 ] G 閉部分 のとき CW X G した つまり BG G

EG -→  BG

, この G pull-back ることによる

[X,BG ] -→ PG (X )

であるものを した ここで P G ( X ) X G である この から BG のことを G (classifying space) という まず , この だけからわかる として 以下 のものが ある

  • G
    E -→ B

    E weakly contractible なものがあれば , ホモトピ

    B ≃ BG
  w

    がある

Steerod [ Ste51 ] における BG 微分 ( colimit ) とし しているという しかしながら G する にな ていないし , できる られている Steenrod , により , そして されてきた として なのは 以下 のもので ある

つの については Gajer Deligne cohomology する [ Gaj97 ] Appendix がよい である Stasheff による survey [ Sta71 ] もある これら 以下

  • Dold-Lashof Milgram , だけでなく topological monoid ( Hopf ) にも できる
  • この つの functorial である つまり (topological monoid)
    f : G -→ H

    Bf : BG -→ BH

    され

     B (1 )  =  1
     G       BG
B(g∘ f)  =  Bg ∘Bf

Milgram

  • がある :
    B(G × H) ~= BG × BH

この から られるのは 事実 である

  • G ベル ならば BG ベル すことができる
  • ベル G discrte topology れて ベル とみなし たものに , B n G ( G,n ) Eilenberg-Mac Lane K ( G,n ) にな つまり
    K(G, n) = BnG

    Eilenberg-Mac Lane としてよい

Eilenberg-Mac Lane には なものがあり , Moore から して けて ホモトピ , というのが 典的 でまた なもので ある それと して , この Milgram functorial という にも ている それに したのが Ravenel Wilson [ RW80 ] である Milgram Eilenberg-Mac Lane ホモロジ した

Milgram , では bar construction ばれている これは G られるある simplicial space にな ている

Dold Lashof , Milgram , BG だけではなく principal quasifibration

EG -→  BG
(1)

total space EG なものを した その , Milnor そして Steenrod した G である

  • topological monoid G principal quasifibration
    EG  -→ BG

  • この quasifibration functorial であること

Rothenberg Steenrod はこの quasifibration, より には BG filtration した spectral sequence しているが , その 現在 preprint のままである なら [ 86 ] まれている Rothenberg-Steenrod スペクトル , 現在 では bar construction する simplicial space ホモロジ スペクトル えるのが りやすい

Milgram による EG , より two-sided bar construction 使 えば BG して える

  • ( より topological monoid) G right G -space X left G -space Y two-sided bar construction B ( X,G,Y )
  • B ( X,G,G ) X B ( G,G,X ) である B ( * ,G,G ) contractible である
  • G nondegenerate なとき quasifibration
    Y - → B (X, G,Y ) -→ B(X,G, *)

    がある また Y = G のときは

    G - → B (X, G,G ) -→ B(X,G, *)

    principal quasifibration である

  • B ( * ,G, * ) Milgram BG する
  • G のとき , B ( * ,G, * ) = B ( * ,G,G ) ∕G である
  • two-sided bar construction A -space しても できる [ Ang09 ]

Topological monoid two-sided bar construction については , では [ 西 85 ] がある この には Steenrod G してある これは Dold-Lashof two-sided bar construction たものである Peter May memoir [ May75 ] はより ているが , May のものより 西 いだろう

G bar construction n n 生成 から G への Hom( F n ,G ) とみなすことができる このことから , lower central series いて bar construction simplicial subspace しているのは , Adem Cohen Torres-Giese [ ACTG12 ] である bar construction simplicial space としての filtration , BG filtration まだ にも bar construction 有用 simplicial subspace がありそうで ある

コホモロジ するときには , できるだけ さい resolution るのが であるが , についてもできるだけ さいものを algorithm があ るとよい めとした になるものが いの , そのようなものを えるときには bar construction きすぎるのであ そのような えたものとして , Bridson Reeves [ BR11 ] ある

monoid object つの small category とみなすことができる bar construction , , small category, より topological small category して なうことができる としては , small category から nerve ばれる simplicial set (simplicial space) , その

とその , または nerve から , わり にある simplicial set いることもできる その アイデア づいて , Getzler [ Get09 ] Lie Lie L -algebra への えている それには Deligne groupoid などの している

Small (topological) category , homotopy (co)limit などの している また bar construction , ある topological category とみなすことができる これについては 西 [ 西 85 ] こと

より category theory には topos いた もある

しては , による [ Tot99 ] もある

References

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[Ang09]     Vigleik Angeltveit. The cyclic bar construction on A H -spaces. Adv. Math. , 222(5):1589–1610, 2009, arXiv:math/0612165 .

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[ 西 85]     西 . ホモトピ , volume 16 of 講座現 . , , 1985.