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Differential Graded Algebra

典的 コホモロジ 換環 され graded algebra にな コホモロジ cochain complex えると , differential graded algebra (DGA) というものになる コホモロジ ることで われる うためには , DGA レベル えた がよい , それを した 理論 として rational homotopy theory がある

として , DGA derived category えることもできる Jørgensen [ Jør04 Jør06 ] 調 べている [ Jør08 ] Jørgensen による review ある

  • cochain algebra small differential graded module のなす derived category Auslander-Reiten quiver つことと , その Poincaré duality space であることは である

Jørgensen Auslander-Reiten quiver 調 , できる 不変 であることを しているが , K. Schmidt thesis [ Sch ] DGA Auslander-Reiten quiver 調 べている Frankild Jørgensen [ FJ08 ] もそ 仕事 であり , 最後 section トポロジ への いて ある

Dugger Shipley , DGA して , functorial ring spectrum させ , DGA ring spectrum する , ということを [ DS07 ] ている する spectrum DGA Eilenberg-Mac Lane ring spectrum んでいる それを いて , DGA topological equivalence して いる

  • differential graded algebra topological equivalence

その にな ているのは , Shipley [ Shi07 ] られている のようである ( ただしその Theorem 1.2 には りがあり , [ Shi ] statement えられている )

この モデル なので , commutative ring spectrum するもの , DGA ではなく , up to homotopy DGA になる そのようなもの , E -DGA ばれている Bayindir [ Bay ] E DGA E topological equivalence , 調 べている

  • E differential graded algebra
  • E differential graded algebra E topological equivalence

DGA , もちろん , でも いられる 有名 (?) 事実 としては , scheme coherent sheaf bounded derived category , ある DGA perfect complex derived category になるというものがある そのことから , DGA えようというのが Shklyarov [ Shk ] ある

DGA formality , rational homotopy theory はもちろんであるが , それ いられる である Kaledin [ Kal07 ] 不変 (obstruction) している DGA のある deformation 2 Hochschild cohomology として している その については , Lunts [ Lun10 ] ると よい

その Lunts にもあるように , DGA での A -algebra して えるのは であるし , その がよい えば , Muro [ Mur16 ] unit DGA unit たない DGA しているが , A いている での (many-objectification horizontal categorification ばれるもの ) としては , DG category ある

Shipley による R DGA HR -algebra との Quillen には , Tabuada による “many-objectification” [ Tab ] がある

DGA A -algebra とみなすことができるが , Granja Hollander [ GH08 ] によ ると , Kadeishvili [ Kad82 ] , DGA A しその homology H * ( A ) A -algebra , さらに A H * ( A ) A -algebra として quasi-isomorphic になること した , らしい Granja Hollander , この 事実 H * ( A )-module している

部分 にしか されないものを えることもある McClure [ McC06 ] , PL PL chain complex intersection pairing により , partial commutative DGA になることを している

  • partial DGA

にも chain complex である N -complex いた もあ Angel Díaz [ AD07 ACD07 ] による N -DGA Kapranov [ Kap ] Dubois-Violette [ DV96 DVK96 DV98 ] による 1 N いた q -DGA ある

微分 2 けて 0 になる , という めた としては curved DGA とい うものもある

双対 dg coalgebra えられる そして Eilenberg Moore [ EM64 ] , いやそれ Adams [ Ada56 ] から , dg coalgebra トポロジ 使 われてきた

  • dg coalgebra

Anel Joyal [ AJ ] dg coalgebra dg algebra , その Sweedler theory という んでいる

  • Sweedler theory

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