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Dold-Kan correspondence

Simplicial Abelian group , その normalized chain complex させること により simplicial Abelian group bounded below chain complex にな より simplicial R -module R bounded below chain complex になる この Dold-Kan correspondence れる

, Dold [ Dol58 ] , Dold Puppe [ DP61 ] , そして Kan [ Kan58 ] であ るが , Goerss Jardine [ GJ09 ] Weibel [ Wei94 ] されているので , ずはこれらの むのが いだろう Normalized chain complex させることの , つまり bounded below chain complex から simplicial Abelian group ることに ついては , これらの にも があるが , Castiglioni Ladra [ CL08 ] にも がある

られている

まず cosimplicial がある えば , Weibel [ Wei94 ] Corollary/Definition 8.4.3 として べられている

  • Cosimplicial Abelian group しその normalized cochain complex るという , cosimplicial Abelian group bounded below cochain complex になる

Cochain complex つことが いことから , この dual Dold-Kan correspondence から simplicial ring differential graded ring ろうとい うのは アイデア である Castiglioni Cortinas [ CC04 ] して いる

  • Dual Dold-Kan correspondence により cosimplicial ring ホモ トピ differential graded ring ホモトピ える

ながら ではなく ホモトピ であるが モデル がある

Simplicial ring differential graded ring への , そしてそれの なる , Schwede Shipley [ SS03 ] ている

Schwede Shipley , より monoidal model category するもので あるが , Shoikhet [ Sho ] ているように , Dold-Kan correspondence functor strict monoidal ではない Shoikhet , Dold-Kan correspondence めるように めることを えている ただ , その version 2 arXiv での comment によると , それは Aguiar Mahajan [ AM10 ] § 5.4 えられて いたことのようである

Simplicial coalgebra dg coalgebra Dold-Kan correspondence につ いては , Soré [ Sor16 ] 調 べている

Gutiérrez Lukacs Weiss [ GLW11 ] dendroidal Abelian group への えている

Strict ω -category での Abelian group object への えている [ Mil ] いる

Dyckerhoff [ Dyc ] , “categorification” している

としては , Kauffman [ Kau ] link homology 研究 使 うことを してい simplicial object するので ホモトピ えるから , というの らしい Khovanov homotopy type との はどうな ているのだ ろう ?

References

[AM10]     Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan. Monoidal functors, species and Hopf algebras , volume 29 of CRM Monograph Series . American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. With forewords by Kenneth Brown and Stephen Chase and André Joyal.

[CC04]     José Luis Castiglioni and Guillermo Cortiñas. Cosimplicial versus DG-rings: a version of the Dold-Kan correspondence. J. Pure Appl. Algebra , 191(1-2):119–142, 2004, arXiv:math/0306289 .

[CL08]     J. L. Castiglioni and M. Ladra. Peiffer elements in simplicial groups and algebras. J. Pure Appl. Algebra , 212(9):2115–2128, 2008, arXiv:math/0501260 .

[Dol58]     Albrecht Dold. Homology of symmetric products and other functors of complexes. Ann. of Math. (2) , 68:54–80, 1958, https://doi.org/10.2307/1970043 .

[DP61]     Albrecht Dold and Dieter Puppe. Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen. Ann. Inst. Fourier Grenoble , 11:201–312, 1961, http://www.numdam.org/item?id=AIF_1961__11__201_0 .

[Dyc]     Tobias Dyckerhoff. A categorified Dold-Kan correspondence, arXiv:1710.08356 .

[GJ09]     Paul G. Goerss and John F. Jardine. Simplicial homotopy theory . Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0346-0189-4 . Reprint of the 1999 edition [MR1711612].

[GLW11]     Javier J. Gutiérrez, Andor Lukacs, and Ittay Weiss. Dold-Kan correspondence for dendroidal abelian groups. J. Pure Appl. Algebra , 215(7):1669–1687, 2011, arXiv:0909.3995 .

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[Kau]     Louis H Kauffman. Simplicial Homotopy Theory, Link Homology and Khovanov Homology, arXiv:1701.04886 .

[Mil]     Brett Milburn. Abelian Groups in ω -categories, arXiv:1106.5434 .

[Sho]     Boris Shoikhet. A bialgebra axiom and the Dold-Kan correspondence, arXiv:1109.5441 .

[Sor16]     W. Hermann B. Sore. The Dold–Kan correspondence and coalgebra structures. J. Homotopy Relat. Struct. , 11(1):67–96, 2016, arXiv:1110.5193 .

[SS03]     Stefan Schwede and Brooke Shipley. Equivalences of monoidal model categories. Algebr. Geom. Topol. , 3:287–334 (electronic), 2003, arXiv:math/0209342 .

[Wei94]     Charles A. Weibel. An introduction to homological algebra , volume 38 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics . Cambridge University Press, Cambridge, 1994, http://dx.doi.org/10.1017/CBO9781139644136 .