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Geometry over đ”Ŋ1

一 個 ぎ 元 からãĒる äŊ“ が 存 在 したと äģŽ 厚 すると , そぎ 上 ぎ äģŖ 数 åšž äŊ• å­Ļ を 構 į¯‰ するという ぎはとãĻも 興 å‘ŗ æˇą い プロジ ェ クト である 。 原 際 , 様 々 ãĒ 𝔽 1 -geometry ぎ 提 æĄˆ が ある 。

例 えば , Deitmar ぎ 提 æĄˆ [ Dei05 ] は , 可 換į’° ãĢ 寞 åŋœ するもぎを , 可 換 ãƒĸノイド とãŋãĒ すことである 。 これは GL ぎ 類 äŧŧ が 寞 į§° įž¤ であることから č‡Ē į„ļ ãĒ ã‚ĸイデã‚ĸ ãĢ 思 える 。 [ Dei08 ] では , étale morphism ãĒおも 考 えられãĻいるし , Thas ぎ [ Tha16 ] では , こ ぎ Deitmer ぎ 𝔽 1 -scheme と Thas č‡Ē čēĢ ぎ 厚 įžŠ したもぎãĢついãĻ čŋ° ずられãĻ いる 。

様 々 ãĒ ã‚ĸプロ ãƒŧ チ ãĢついãĻぎ æĻ‚čĻŗ と ä¸ģ ãĒ įĩ 果 ãĢついãĻは , Lorscheid ぎ č§Ŗ čĒŦ [ Lor18 ] ãĢぞとめられãĻいる 。

有 限 型 integral 𝔽 1 scheme と toric variety とぎ é–ĸ äŋ‚ も čĒŋ ずられãĻいる 。 Manin は 𝔽 1 上 ぎ analytic function を [ Man10 ] で 考 えãĻいるが , そこでは Deitmar らぎ 𝔽 1 scheme ぎ 厚 įžŠ ぎようãĢ categorical ãĒ 厚 įžŠ だけでãĒく , finite extension 𝔽 1 n が 重 čĻ であること が čŋ° ずられãĻいる 。 そしãĻ こぎ post ãĢ 書 かれãĻいるようãĢ , を 𝔽 1 上 ぎ algebra と čĻ‹ ãĒし , 𝔽 1 scheme から 上 , そしãĻ 上 ぎ scheme を äŊœ ることがで きる 。

  • は 𝔽 1 上 ぎ algebra とãŋãĒすずき

𝔽 1 上 ぎ äģŖ 数 åšž äŊ• å­Ļ およãŗそれと Tits ぎ “geometry” とぎ é–ĸ äŋ‚ ãĢついãĻは , [ CC11b ] で č­° čĢ– されãĻいる 。 Chevalley įž¤ とぎ é–ĸ äŋ‚ ãĢついãĻも čŋ° ずられãĻいる 。 Cortiñas ら [ CnHWW15 ] は , toric variety ぎ K -theory を čĒŋ ずるぎãĢ äŊŋ ãŖ ãĻ いる 。

𝔽 1 ぎ algebraic K -theory は įƒ éĸ ぎ 厉 厚 ホãƒĸトピ ãƒŧ įž¤ とãŋãĒすぎが åĻĨ åŊ“ ãĒようãĢ 思 え るが , より 一 čˆŦ ぎ 𝔽 1 -scheme ぎ algebraic K -theory ãĢついãĻは , Chu と Lorscheid と Santhanam ぎ [ CLS12 ] で 考 えられãĻいる 。 Chu と Morava ぎ [ CM ] も čĻ‹ るとよ い 。 それãĢよると , Abel įž¤ G ぎ 𝔽 1 上 ぎ group algebra 𝔽 1 [ G ] ãĢ 寞 しãĻは , 同 型

Kn (Spec(𝔽1[G])) ~= πSn(BG+ )

が 成 り įĢ‹ つようである 。

Durov は [ Dur ] で , Arakelov geometry ぎ 一 čˆŦ 化 としãĻ 𝔽 1 も 包 æ‹Ŧ する 枠 įĩ„ ãŋを 構 į¯‰ しようとしãĻいる 。 それãĢよると 𝔽 1 -module ぎ ホãƒĸロジ ãƒŧ äģŖ 数 は åŸē į‚š äģ˜ き simplicial set ぎ ホãƒĸトピ ãƒŧ äģŖ 数 , つぞり 古 典įš„ ãĒ ホãƒĸトピ ãƒŧ čĢ– と 考 えるぎが č‰¯ さそうである 。 これ は , 上 記 ぎようãĢ algebraic K -theory としãĻ įƒ éĸ ぎ 厉 厚 ホãƒĸトピ ãƒŧ įž¤ が įž れることから も åĻĨ åŊ“ ãĢ 思 える 。

Connes と Consani [ CC16 ] は , Segal ぎ Γ-space ぎ discrete į‰ˆ , つぞり Γ-set を į”¨ い ることを 提 æĄˆ しãĻいる 。 Γ-space は infinite loop space , つぞり connective spectrum ãĢ 寞 åŋœ するもぎであるが , Lydakis [ Lyd99 ] は Γ-space ぎ category ãĢ monoidal strucutre を 厚 įžŠ し , connective ring spectrum ぎ category ぎ model を 構 成 した 。 Connes と Consani は , Γ-set ぎ category ぎ monoid object を 𝕊 -algebra と å‘ŧ ãŗ , それぞで åŊŧ į­‰ が 提 æĄˆ しãĻきた hyperring や semiring ãĢよる ã‚ĸプロ ãƒŧ チ を įĩą 合 するもぎとしãĻ 提 æĄˆ しãĻ いる 。

Tropical algebraic geometry とぎ é–ĸ é€Ŗ ãĢついãĻは , Giansiracusa と Giansiracusa ぎ [ GG ] がある 。 Connes と Consani [ CC11a ] も , tropical ãĒ 世 į•Œ とぎ é–ĸ äŋ‚ を 指 摘 しãĻ いる 。

References

[CC11a]     Alain Connes and Caterina Consani. Characteristic 1, entropy and the absolute point. In Noncommutative geometry, arithmetic, and related topics , pages 75–139. Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 2011, arXiv:0911.3537 .

[CC11b]     Alain Connes and Caterina Consani. On the notion of geometry over 𝔽 1 . J. Algebraic Geom. , 20(3):525–557, 2011, arXiv:0809.2926 .

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[CLS12]     Chenghao Chu, Oliver Lorscheid, and Rekha Santhanam. Sheaves and K -theory for 𝔽 1 -schemes. Adv. Math. , 229(4):2239–2286, 2012, arXiv:1010.2896 .

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[CnHWW15]     Guillermo Cortiñas, Christian Haesemeyer, Mark E. Walker, and Charles Weibel. Toric varieties, monoid schemes and cdh descent. J. Reine Angew. Math. , 698:1–54, 2015, arXiv:1106.1389 .

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