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FI Objects and Co-FI-Objects

Church, Ellenberg, Farb [ CEF15 ] , stability えるために , のなす ( skeletal subcategory) FI いることを した FI から への functor FI-module , contravariant functor co-FI-module いう より simplicial object cosimplicial object のように FI-object co-FI-object される ただし , より , Sagave Schlichtkrull [ SS12 ] での FI-object infinite loop space strict commutative monoid object として すために いている Sagave Schlichtkrull では , FI I されているが ここでは Church らの いることに する

  • FI-object co-Fi-object

するのは , (co)simplicial object のときと , FI からの covariant functor FI-object, contravariant functor co-FI-object ぶことで ある

n , n Σ n V n えられている , { 1 , 2 , ,m } から { 1 , 2 , ,n } への から V m V n される Church らはそのよ うな して えることを したのである

えば , X n configuration space Conf n ( X ) , n からなる S X への みの Emb( S,X ) とみなせ , その コホモロジ H * (Conf n ( X )) = H * (Emb( S,X )) Aut( S ) = Σ n になるが , S `→ T から による Emb( T,X ) Emb( S,X ) られ , コホモロジ H * (Emb( S,X )) H * (Emb( T,X )) られる これにより configuration space コホモロジ FI-module またその ホモトピ co-FI- つが , それについては Kupers Miller [ KM ] 調 べて いる

には , FI-object co-FI-object としては 以下 のようなものがある

  • n mark された g Riemann moduli space co-FI- , てその コホモロジ FI-module (Church, Ellenberg, Farb [ CEF15 ] )
  • M n する mapping class group , co-FI-group, コホモロジ FI-module (Rolland [ JR15 ] )

したように , Sagave Schlichtkrull [ SS12 ] infinite loop space , すなわち E -space strict commutative monoid object として すために , での FI-object いている その (co)chain complex Richter Sagave [ RS ] により られている

FI-module ( ) 調 べられている

  • Noether finitely genrated FI-module sub-FI-module finitely generated (Church, Ellenberg, Farb, Nagpal [ CEFN14 ] )
  • FI-module Castelnuovo-Mumford regularity (Church and Ellenborg [ CE17 ] )

としては , まず G つものがある Sam Snowden [ SS ] により された

  • FI G -module

Casto [ Casb Casa ] はその えている

Sam Snowden [ SS17 ] finite set surjection FS えて いる

FI-module での , general linear group symplectic group えたものを Putman Sam [ PS ] 導入 している

References

[Casa]     Kevin Casto. FI G -modules and arithmetic statistics, arXiv:1703.07295 .

[Casb]     Kevin Casto. FI G -modules, orbit configuration spaces, and complex reflection groups, arXiv:1608.06317 .

[CE17]     Thomas Church and Jordan S. Ellenberg. Homology of FI-modules. Geom. Topol. , 21(4):2373–2418, 2017, arXiv:1506.01022 .

[CEF15]     Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, and Benson Farb. FI-modules and stability for representations of symmetric groups. Duke Math. J. , 164(9):1833–1910, 2015, arXiv:1204.4533 .

[CEFN14]     Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, Benson Farb, and Rohit Nagpal. FI-modules over Noetherian rings. Geom. Topol. , 18(5):2951–2984, 2014, arXiv:1210.1854 .

[JR15]     R. Jiménez Rolland. On the cohomology of pure mapping class groups as FI-modules. J. Homotopy Relat. Struct. , 10(3):401–424, 2015, arXiv:1207.6828 .

[KM]     Alexander Kupers and Jeremy Miller. Representation stability for homotopy groups of configuration spaces, arXiv:1410.2328 .

[PS]     Andrew Putman and Steven V Sam. Representation stability and finite linear groups, arXiv:1408.3694 .

[RS]     Birgit Richter and Steffen Sagave. A strictly commutative model for the cochain algebra of a space, arXiv:1801.01060 .

[SS]     Steven V Sam and Andrew Snowden. Representations of categories of G -maps, arXiv:1410.6054 .

[SS12]     Steffen Sagave and Christian Schlichtkrull. Diagram spaces and symmetric spectra. Adv. Math. , 231(3-4):2116–2193, 2012, arXiv:1103.2764 .

[SS17]     Steven V. Sam and Andrew Snowden. Gröbner methods for representations of combinatorial categories. J. Amer. Math. Soc. , 30(1):159–203, 2017, arXiv:1409.1670 .