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Grothendieck group と K 理論の基本

K 理論 にはそれほど ない まずは Grothendieck group , つまり monoid group completion さえ ていればよい とはいうものの , group completion にもその するものによ version がある いづれの , できた Grothendieck group という

Achar Stroppel [ AS13 ] , Tate twist mixed Abelian category , Grothendieck group completion している Derived category Grothendieck group との なうのが のようである

Grothendieck , exterior power operation により される える ために λ -ring 導入 した

K -theory があるものとして , Picard group Brauer group などとい たも のもある

にな ている category monoidal structure , Grothendieck group になり Grothendieck ring ばれる その deformation えている いる Hernandez [ Her04 HL15 ] などである Loop algebra quantum deformation , Toën derived Hall algebra あるようで ある

  • quantum Grothendieck ring

Algebraic variety 全体 Grothendieck ring えられている Vakil Wood [ VW15 ] など Quillen algebraic K -theory のように , それを π 0 として する spectrum Zakharevich [ Zak ] えられている

  • Grothendieck group of varieties

また algebraic stack Grothendieck ring Ekedahl [ Ekeb ] えられて いる

  • Grothendieck group of stacks

Ekedahl [ Ekea ] classifying stack について 調 べている それ いて , Delucchi Martino [ DM ] reflection group しく 調 べて いる

Martino [ Mar16 ] [ Ekeb ] Ekedahl している 不変 について , しく 調 べている

より なものから られるものとしては , convex polytope Minkowski sum semigroup Grothendieck group がある その virtual polytope Panina [ Pan02 Pan15 ] などを のこと Khovanskii Pukhlikov [ PK92 ] えられたもののようである Friedl らの [ FLT ] でも 使 われて いる

  • virtual polytope

Goodwillie [ Goo ] , Minkowski sum ではなく , ることによる convex polytope Grothendieck group えている こちらの motivation scissors congruence である

References

[AS13]     Pramod N. Achar and Catharina Stroppel. Completions of Grothendieck groups. Bull. Lond. Math. Soc. , 45(1):200–212, 2013, arXiv:1105.2715 .

[DM]     Emanuele Delucchi and Ivan Martino. Subspace arrangements and motives of classifying stacks of reflection groups, arXiv:1507.03486 .

[Ekea]     Torsten Ekedahl. A geometric invariant of a finite group, arXiv:0903.3148 .

[Ekeb]     Torsten Ekedahl. The Grothendieck group of algebraic stacks, arXiv:0903.3143 .

[FLT]     Stefan Friedl, Wolfgang Lück, and Stephan Tillmann. Groups and polytopes, arXiv:1611.01857 .

[Goo]     Thomas G. Goodwillie. Scissors Congruence with Mixed Dimensions, arXiv:1410.7120 .

[Her04]     David Hernandez. Algebraic approach to q,t -characters. Adv. Math. , 187(1):1–52, 2004, arXiv:math/0212257 .

[HL15]     David Hernandez and Bernard Leclerc. Quantum Grothendieck rings and derived Hall algebras. J. Reine Angew. Math. , 701:77–126, 2015, arXiv:1109.0862 .

[Mar16]     Ivan Martino. The Ekedahl invariants for finite groups. J. Pure Appl. Algebra , 220(4):1294–1309, 2016, arXiv:1312.0476 .

[Pan02]     G. Yu. Panina. Virtual polytopes and classical problems in geometry. Algebra i Analiz , 14(5):152–170, 2002.

[Pan15]     Gaiane Yu. Panina. Cyclopermutohedron. Proc. Steklov Inst. Math. , 288(1):132–144, 2015, arXiv:1401.7476 .

[PK92]     A. V. Pukhlikov and A. G. Khovanskiĭ. Finitely additive measures of virtual polyhedra. Algebra i Analiz , 4(2):161–185, 1992.

[VW15]     Ravi Vakil and Melanie Matchett Wood. Discriminants in the Grothendieck ring. Duke Math. J. , 164(6):1139–1185, 2015, arXiv:1208.3166 .

[Zak]     Inna Zakharevich. The annihilator of the Lefschetz motive, arXiv:1506.06200 .