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Jones polynomial と Khovanov homology

Jones polynomial については , がある

によ , えられている まず , Jones polynomial については , Witten [ Wit89 ] がある Khovanov homology knot Floer homology などの knot homology については , Gukov [ GSV05 GIKV10 Guk ] などがある , [ Guk ] surface operator 4 topological gauge theory がこの homology natural framework であると ていて Triangulated category への braid しているようである そして , Witten [ Wit12 ] れで Khovanov homology られたことになるのだろ うか

とにかく , 現在 では Khovanov homology “knot homology” 研究 がとても んである

Khovanov homology としては , Paul Turner [ Tur ] がある Khovanov homology , homology というからには functor にな ていてほしい , link tangle cobordism category functor として しているのが , Clark Morrison Walker [ CMW09 ] である

Turner Khovanov homology する spectral sequence [ Tur06 Tur08 ] している また MacKaay [ MT07 ] Khovanov homology した Bar-Natan theory 調 べている としては , その Bar-Natan [ BN02 BN05 ] りやすい [ BN05 ] では Kapranov Voevodsky 2-vector space 方法 cobordism category matrix category (categorification) , それに topological quantum field theory することにより complex ている Naot [ Nao06 ] , その quantum field theory える ことによる , universal quantum field theory している Khovanov による としては ICM 2006 Proceeding [ Kho06 ] ある

Khovanov homology Hochschild homology されている Przytycki [ Prz10 ] である

Kronheimer Mrowka [ KM11b ] unknot trefoil knot group SU(2) への である をみたすもの 全体 ホモロジ Khovanov homology ていることを している らは , より 3 link instanton Floer homology , Khovanov homology があること している その , [ KM11a ] reduced Khovanov cohomology から instanton Floer homology する spectral sequence , それにより reduced Khovanov cohomology knot detect することを して いる

グラフ chromatic polynomial Khovanov homology categorify する いう みもある Stosic thesis [ Sto ] , Khovanov homology グラフ ホモロジ (chromatic polynomial categorification) ている Tutte polynomial やその との については Loebl Moffatt [ LM08 ] ると よい

Khovanov homology variation として Lee [ Lee05 ] したものがある れを いて Rasmussen [ Ras10 ] しい 不変 している

  • Rasmussen 不変

Link しては HOMFLY polynomial とその categorification である , Khovanov-Rozansky homology がある

にも , Khovanov-Rozansky homology knot Floer homology するという , Dunfield Gukov Rasmussen [ DGR06 ] けられた tangle Khovanov ホモロジ [ APS04 APS06 ] など , この ある

Knot Floer homology , Ozsváth-Szabó により [ OS04b ] された knot complement Lagrangian Floer homology づいて Rasmussen thesis [ Ras03 ] Ozsváth-Szabó [ OS04a ] により 導入 されたものである Dunfield Gukov Rasmussen みは , Khovanov-Rozansky homology knot Floer homology 調 べるという から したものである

このように , Khovanov-Rozansky homology symplectic geometry との かになるにつれ , Khovanov-Rozanski homology symplectic から しよう という みも われた Seidel Smith [ SS06 ] , その Manolescu [ Man07 ] である

Seidel Smith , link braid , つまり configuration space での loop いた ものとみなし , configuration space symplectic fibration えている

その fiber として れる symplectic manifold , ある complex surface Hilbert scheme open dense subset として めることを したのは Manolescu [ Man06 ] である その A Klein deformation として られるもの であり , にも Jackson [ Jac ] のことが つことを していて , Klein Stability condition との になるところで ある

Khovanov [ Kho00 ] , Lie algebra 𝔰𝔩 2 したものである Khovanov [ Kho04b ] では 𝔰𝔩 3 づいた link homology している Mackaay Vaz [ MV07 ] universal 𝔰𝔩 3 -link homology している のように , Lie algebra 𝔰𝔩 n とその standard representation から link homology られるが , Lie algebra いることもできる , しい

, Khovanov [ Kho04a ] では , Khovanov homology center Springer variety cohomology について べている またいくつかの てている Khovanov homology Lie との , いわゆる Riemann-Hilbert correspondence して flag variety G∕P perverse sheaf していて えば , Stroppel [ Str09 ] ると よい

𝔰𝔩 2 categorification としては , ある smooth projective variety × -equivariant coherent sheaf derived category 使 うものもある Cautis Kamnitzer [ CK08a ] である 𝔰𝔩 m への [ CK08b ] われて いる

トポロジ からは , Lipshitz Sarkar [ LS14 ] , その ホモロジ Khovanov homology になる spectrum した

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