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KdV 及び KP 方程式

KdV

u + 6uu + u    = 0
 t     x   xxx

Korteweg de Vries により , する solitary wave する として 導入 された u = u ( x,t ) t における , 実軸 x での さを わす

これを 2 , つまり ではなく ( には plasma physics) えたのが Kadomtsev Petriashvilii であり

3uyy =-∂-(4ut - uxxx - 6uux)
      ∂x

という いた これは KP ばれる

これらの theta されるものがあることが かり , その 研究 んだのが 1970 である

じく ’70 Lax pseudodifferential operator いた それをみると KdV つにすぎないというこ とが その KdV hierarchy という その r

Lt = [(Lr2)+,L ]

である KP しても KP hierarchy ばれる pseudodifferential operator がある

, KdV hierarchy Gel fand-Dickey hierarchy ばれる のものなのである

  • Kdv hierarchy
  • KP hierarchy
  • r 2 , r Gel fand-Dickey hierarchy

KdV (KP) hierarchy , いがけないところに それについては Arbarello [ Arb02 ] がよい KdV から してある

KdV hierarchy したことの としては , との Segal Wilson [ SW85 ] にあるし , Sato Grassmannian として B U にも する

より しい ( とい ても 90 だが ) としては , moduli との がある Witten [ Wit91 ] stable algebraic curve moduli space tautological cohomology class intersection number generating function KdV hierarchy みたすことを したが , それは Kontsevich [ Kon92 ] により された Fiorenza [ Fio ] では Feynman diagram いて している このことについては , Mulase Safnuk [ MS08 ] るとよい

のことを , r > 2 Gel fand-Dickey hierarchy するためには , r -spin curve というものを える がある この generalized Witten につい ては , Jarvis とその coworker [ Jar00 JKV01 JKV00 ] 研究 されてい , Jarvis Kimura Vaintrob [ JKV00 ] では , Gromov-Witten invariant Gel fand-Dickey hierarchy analogy について えている

Kodama Williams [ KW11 KW14 ] によると , cluster algebra total positivity とも がある

KdV hierarchy quantization については , Feign Frenkel [ FF11 ] がある うやら Langlands dual などに しているようである

Chmutov, Kazarian, Lando [ CKL ] chromatic symmetric function generating function KP hierarchy をみたすことを している グラフ 不変 につ いても 調 べている

Knot polynomial との , Mironov, Mironov, Mishnyakov, Morozov, Sleptsov [ MMM + ] 調 べられている

References

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