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Kervaire invariant

トポロジ からは , Kervaire invariant すのは , ホモトピ する Kervaire invariant one / ある

2009 トポロジ での , やはり Hill Hopkins Ravenel [ HHR16 ] によるこの (1 つの いての ) だろう として , 以下 のものがある

  • Snaith [ Sna ]
  • Snaith [ Sna09 ]
  • Haynes Miller による Bourbaki Seminar [ Mil12 ]
  • Hopkins による Japanese Journal survey [ Hop16 ]

Snaith , Hopkins Ravenel による アナウンス まで コンタク かれたようである

Kervaire [ Ker60 ] , Browder [ Bro69 ] , Ed. Brown, Jr. [ Bro72 ] などによ された framed manifold 不変 である 𝔽 2 ベクトル 不変 である Arf invariant がある

  • Arf invariant
  • framed manifold する Kervaire invariant

ホモトピ との , framed manifold framed cobordism ホモトピ になることから られる そして ホモトピ Kervaire invariant one するかどうかという えられるように

  • ホモトピ する Kervaire invariant one

この があるが , なのは Adams spectral sequence E 2 -term h i 2 わされる E -term まで るかどうか , というのだろう れは Hopf invariant one h i るかどうかと であることを てい ると かりやすいだろう Snaith § 8 , この にも られている

Hill, Hopkins, Ravenel による アプロ では , equivariant stable homotopy theory きな している そして , その として equivariant stable homotopy theory でも があ たようである えば , topological cyclic homology , topological Hochschild homology spectrum cyclotomic structure については , Angeltveit らの [ ABG + ] があるが , その Hill-Hopkins-Ravenel 使 われている

Kervaire invariant one へは , Akhmet ev [ Akh ] による アプロ もあるよう であるが , Landweber [ Lan ] により , その 使 われている Proposition する つけられている

Kervaire invariant one , する たが , Hopf invariant one , Adams spectral sequence され , 2 にな

, えられる これについては , Ravenel [ Rav78 ] により p > 3 されている Hopkins [ Hop16 ] , p = 3 えられる プロ かれている

References

[ABG + ]     V. Angeltveit, A. Blumberg, T. Gerhardt, M. Hill, T. Lawson, and M. Mandell. Relative cyclotomic spectra and topological cyclic homology via the norm, arXiv:1401.5001 .

[Akh]     Petr M. Akhmet’ev. Geometric approach towards stable homotopy groups of spheres. The Kervaire invariant II, arXiv:0801.1417 .

[Bro69]     William Browder. The Kervaire invariant of framed manifolds and its generalization. Ann. of Math. (2) , 90:157–186, 1969, https://doi.org/10.2307/1970686 .

[Bro72]     Edgar H. Brown, Jr. Generalizations of the Kervaire invariant. Ann. of Math. (2) , 95:368–383, 1972, https://doi.org/10.2307/1970804 .

[HHR16]     M. A. Hill, M. J. Hopkins, and D. C. Ravenel. On the nonexistence of elements of Kervaire invariant one. Ann. of Math. (2) , 184(1):1–262, 2016, arXiv:0908.3724 .

[Hop16]     Michael J. Hopkins. The Kervaire invariant problem. Jpn. J. Math. , 11(1):1–14, 2016, https://doi.org/10.1007/s11537-016-0948-z .

[Ker60]     Michel A. Kervaire. A manifold which does not admit any differentiable structure. Comment. Math. Helv. , 34:257–270, 1960, https://doi.org/10.1007/BF02565940 .

[Lan]     Peter S. Landweber. K -theory of S 7 ∕Q 8 and a counterexample to a result of P.M. Akhmet’ev, arXiv:1001.4760 .

[Mil12]     Haynes Miller. Kervaire invariant one [after M. A. Hill, M. J. Hopkins, and D. C. Ravenel]. Ast érisque , (348):Exp. No. 1029, vii, 65–98, 2012, arXiv:1104.4523 . Séminaire Bourbaki: Vol. 2010/2011. Exposés 1027–1042.

[Rav78]     Douglas C. Ravenel. The non-existence of odd primary Arf invariant elements in stable homotopy. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 83(3):429–443, 1978, https://doi.org/10.1017/S0305004100054712 .

[Sna]     Victor P. Snaith. The Arf-Kervaire Invariant of framed manifolds, arXiv:1001.4751 .

[Sna09]     Victor P. Snaith. Stable homotopy around the Arf-Kervaire invariant , volume 273 of Progress in Mathematics . Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7643-9904-7 .