Your language?
Oct, 2018
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31

L2 不変量

Atiyah [ Ati76 ] L 2 -Betti という 導入 した 調 べるときには group ring 有用 であるが , には completion をする がよい ベクトル には , ベクトル のように だけでは , めて えなければならないのと じで ある

G している X singular chain complex には G group ring するが , その いて group von Neumann algebra N ( G ) した (co)homology えることができる なことは , N ( G )-module しては , von Neumann dimension という [0 , ] できる [ Lüc ] ことで ある

, L 2 -Betti アイデア であるが , にも L 2 -torsion などの L 2 不変 がある

L 2 不変 については , Lück [ Lüc09 ] るのがよい なところか しく いてある Lück [ Lüc02 ] という いている

  • ( ) G しその group von Neumann algebra N ( G )
  • von Neumann dimension
  • L 2 -(co)homology
  • L 2 -Betti
  • center-valued Betti [ Kne11 ]
  • L 2 -Euler
  • L 2 -torsion
  • Novikov-Shubin number [ NS86 ]
  • delocalized L 2 不変 [ Lot99 ]
  • von Neumann ρ -invariant [ CG85 ]

, X universal cover X^ には π 1 ( X ) するが , その L 2 -(co)homology L 2 -Betti X L 2 -(co)homology L 2 -Betti たりする それについて , Lück による [ Lüc94 ] という 方法 がある つまり わす わけであるが , その にした Linnell Lück Sauer [ LLS11 ] えている

また G EG への G L 2 -(co)homology L 2 -Betti たり する Lück [ Lüc Lüc09 ] , この には L 2 -homology ホモロジ , つまり G group von Neumann algebra N ( G ) Tor いて できることであ , Connes Shlyakhtenko [ CS05 ] , finite tracial von Neumann algebra して Hochschhild homology , その L 2 -homology することを して いる

として , まず groupoid にするのが なものだろう これについては Sauer [ Sau05 ] Lück 方法 discrete measured groupoid することができ ることを している , Fiore Lück [ FLS11 ] small category ている

  • discrete measured groupoid
  • discrete measured groupoid von Neumann algebra
  • discrete measured groupoid L 2 -Euler
  • small category L 2 -Euler

Sauer Thom , [ ST10 ] discrete measured groupoid extension Serre spectral sequence (Hochschild-Serre spectral sequence) している もちろ , そのためには discrete measured groupoid extesion という する がある

  • discrete measured groupoid strong extension

にも みられている

0 L 2 -Betti 0 であるというのは , Cheeger Gromov [ CG86 ] であるが , それを compact quantum group したのは Kyed [ Kye11 ] ある

L 2 -Betti したものとして , えば Dicks Linnell [ DL07 ] があ hyperplane arrangement complement えたのが , Davis Januskiewicz Leary [ DJL07 ] である その として , Friedl Leidy Maxim [ FLM09 ] 2 algebraic curve complement L 2 -Betti 調 べて いる

また , Dymara [ Dym06 DDJO07 ] Coxeter system して した weighted L 2 -Betti というのもある

Lück [ Lüc94 ] residually finite group, つまり 部分 による descreasing filtration limit になるものを つような , ( ) Betti による L 2 -Betti その , k とする ホモロ いて 不変 できる それを したのは Farber [ Far98a ] ある Grabowski Schick [ GS ] では k -homology gradient ばれて いる

  • homology gradient

この homology gradient という Lackenby [ Lac09 ] によるものらしい Abért Nikolov [ AN12 ] Linnell, Lück, Sauer [ LLS11 ] などにより 調 べられて いる

L 2 -Betti がどのような るか , えば になるかというのは である しか ないだろうというのが Atiyah であるが , ている

Farber [ Far96 ] , ある Abelian category (co)homology theory とし extended L 2 -(co)homology というものを した L 2 -(co)homology Novikov-Shubin number する “unique (co)homology theory” らしい その みを , [ Far98b ] では von Neumann category という している Ghez Lima Roberts [ GLR85 ] W * -category 同等 のようで ある

L 2 不変 , もちろん がある minimal volume については Sauer [ Sau09 ] Introduction るとよい Atiyah L 2 -index theorem については , Chatterji Mislin [ CM03 ] ある

  • L 2 -index theorem

References

[AN12]     Miklós Abért and Nikolay Nikolov. Rank gradient, cost of groups and the rank versus Heegaard genus problem. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) , 14(5):1657–1677, 2012, arXiv:math/0701361 .

[Ati76]     M. F. Atiyah. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras. In Colloque “Analyse et Topologie” en l’Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) , pages 43–72. Astérisque, No. 32–33. Soc. Math. France, Paris, 1976.

[CG85]     Jeff Cheeger and Mikhael Gromov. Bounds on the von Neumann dimension of L 2 -cohomology and the Gauss-Bonnet theorem for open manifolds. J. Differential Geom. , 21(1):1–34, 1985, http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214439461 .

[CG86]     Jeff Cheeger and Mikhael Gromov. L 2 -cohomology and group cohomology. Topology , 25(2):189–215, 1986, http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(86)90039-X .

[CGI09]     Fabio Cipriani, Daniele Guido, and Tommaso Isola. A C * -algebra of geometric operators on self-similar CW-complexes. Novikov-Shubin and L 2 -Betti numbers. J. Funct. Anal. , 256(3):603–634, 2009, arXiv:math/0607603 .

[CM03]     Indira Chatterji and Guido Mislin. Atiyah’s L 2 -index theorem. Enseign. Math. (2) , 49(1-2):85–93, 2003, arXiv:1004.1350 .

[CS05]     Alain Connes and Dimitri Shlyakhtenko. L 2 -homology for von Neumann algebras. J. Reine Angew. Math. , 586:125–168, 2005, arXiv:math/0309343 .

[DDJO07]     Michael W. Davis, Jan Dymara, Tadeusz Januszkiewicz, and Boris Okun. Weighted L 2 -cohomology of Coxeter groups. Geom. Topol. , 11:47–138, 2007, arXiv:math/0402377 .

[DJL07]     M. W. Davis, T. Januszkiewicz, and I. J. Leary. The l 2 -cohomology of hyperplane complements. Groups Geom. Dyn. , 1(3):301–309, 2007, arXiv:math/0612404 .

[DL07]     Warren Dicks and Peter A. Linnell. L 2 -Betti numbers of one-relator groups. Math. Ann. , 337(4):855–874, 2007, arXiv:math/0508370 .

[Dym06]     Jan Dymara. Thin buildings. Geom. Topol. , 10:667–694, 2006, arXiv:math/0601005 .

[Far96]     M. S. Farber. Homological algebra of Novikov-Shubin invariants and Morse inequalities. Geom. Funct. Anal. , 6(4):628–665, 1996, arXiv:dg-ga/9606013 .

[Far98a]     Michael Farber. Geometry of growth: approximation theorems for L 2 invariants. Math. Ann. , 311(2):335–375, 1998, arXiv:dg-ga/9703014 .

[Far98b]     Michael Farber. von Neumann categories and extended L 2 -cohomology. K -Theory , 15(4):347–405, 1998, arXiv:dg-ga/9610016 .

[FLM09]     Stefan Friedl, Constance Leidy, and Laurentiu Maxim. L 2 -Betti numbers of plane algebraic curves. Michigan Math. J. , 58(2):411–421, 2009, arXiv:0704.3388 .

[FLS11]     Thomas M. Fiore, Wolfgang Lück, and Roman Sauer. Finiteness obstructions and Euler characteristics of categories. Adv. Math. , 226(3):2371–2469, 2011, arXiv:0908.3417 .

[GLR85]     P. Ghez, R. Lima, and J. E. Roberts. W * -categories. Pacific J. Math. , 120(1):79–109, 1985, http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102703884 .

[GS]     Łukasz Grabowski and Thomas Schick. On computing homology gradients over finite fields, arXiv:1410.1693 .

[Kne11]     Anselm Knebusch. Approximation of center-valued Betti-numbers. Houston J. Math. , 37(1):161–179, 2011, arXiv:0804.0530 .

[Kye08a]     David Kyed. L 2 -Betti numbers of coamenable quantum groups. M ünster J. Math. , 1:143–179, 2008, arXiv:0704.1582 .

[Kye08b]     David Kyed. L 2 -homology for compact quantum groups. Math. Scand. , 103(1):111–129, 2008, arXiv:math/0605240 .

[Kye11]     David Kyed. On the zeroth L 2 -homology of a quantum group. M ünster J. Math. , 4:119–127, 2011, arXiv:0906.0656 .

[Lac09]     Marc Lackenby. Large groups, property ( τ ) and the homology growth of subgroups. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 146(3):625–648, 2009, arXiv:math/0509036 .

[LLS11]     Peter Linnell, Wolfgang Lück, and Roman Sauer. The limit of 𝔽 p -Betti numbers of a tower of finite covers with amenable fundamental groups. Proc. Amer. Math. Soc. , 139(2):421–434, 2011, arXiv:1003.0434 .

[Lot99]     John Lott. Delocalized L 2 -invariants. J. Funct. Anal. , 169(1):1–31, 1999, http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1999.3451 .

[Lüc]     Wolfgang Lück. Dimension theory of arbitrary modules over finite von Neumann algebras and applications to L 2 -Betti numbers, arXiv:dg-ga/9707011 .

[Lüc94]     W. Lück. Approximating L 2 -invariants by their finite-dimensional analogues. Geom. Funct. Anal. , 4(4):455–481, 1994, http://dx.doi.org/10.1007/BF01896404 .

[Lüc02]     Wolfgang Lück. L 2 -invariants: theory and applications to geometry and K -theory , volume 44 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] . Springer-Verlag, Berlin, 2002.

[Lüc09]     Wolfgang Lück. L 2 -invariants from the algebraic point of view. In Geometric and cohomological methods in group theory , volume 358 of London Math. Soc. Lecture Note Ser. , pages 63–161. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009, arXiv:math/0310489 .

[NS86]     S. P. Novikov and M. A. Shubin. Morse inequalities and von Neumann II 1 -factors. Dokl. Akad. Nauk SSSR , 289(2):289–292, 1986.

[Sau05]     Roman Sauer. L 2 -Betti numbers of discrete measured groupoids. Internat. J. Algebra Comput. , 15(5-6):1169–1188, 2005, arXiv:math/0312411 .

[Sau09]     Roman Sauer. Amenable covers, volume and L 2 -Betti numbers of aspherical manifolds. J. Reine Angew. Math. , 636:47–92, 2009, arXiv:math/0605627 .

[ST10]     Roman Sauer and Andreas Thom. A spectral sequence to compute L 2 -Betti numbers of groups and groupoids. J. Lond. Math. Soc. (2) , 81(3):747–773, 2010, arXiv:0707.0906 .