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L2-Betti 数に関する Atiyah 予想

Atiyah , その L 2 -Betti 導入 した [ Ati76 ] , L 2 -Betti るか , という している Atiyah えたのは , Riemann universal cover いた L 2 -Betti であるが , 現在 では group von Neumann algebra 翻訳 されている てこの Atiyah group von Neumann algebra する えることがで きる

Grigorchuk Linnell Schick Zuk [ GLSŻ00 ] では , より , G invert した 部分 つかという strong Atiyah conjecture えられている

  • strong Atiyah conjecture

Grigorchuk らは strong Atiyah conjecture する している もちろん , られているし , strong Atiyah conjecture class がどのような じているかも 調 べられている えば , Linnell Okun Schick [ LOS12 ] , right-angled Artin group right-angled Coxeter group して strong Atiyah conjecture つことを している Wegner [ Weg ] subgroup quotient して じているのはどのような かを えたもので ある

どうやら Atiyah についても , Austin [ Aus13 ] により されたよ うである Pichot Schick Zuk [ PSZ15 ] Austin 方法 , えられた しそれをある covering する L 2 として compact manifold 方法 えている , Grabowski [ Gra14 ] によ ても られてい るようである

Lehner Wagner による lamplighter group による [ LW13 ] もある Lamplighter group というのは , wreath product ∕m G のことをいうらし G えている

Grabowski [ Gra16 ] , lamplighter group ∕p Z L 2 -Betti むことを している そして , その つか , というのを として している

Okun Scott [ OS14 ] , right-angled Coxeter group group von Neumann algebra ではなく Hecke von Neumann algebra する strong Atiyah conjecture えている

Grabowski Schick [ GS ] homology gradient する えて いる

References

[Ati76]     M. F. Atiyah. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras. In Colloque “Analyse et Topologie” en l’Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) , pages 43–72. Astérisque, No. 32–33. Soc. Math. France, Paris, 1976.

[Aus13]     Tim Austin. Rational group ring elements with kernels having irrational dimension. Proc. Lond. Math. Soc. (3) , 107(6):1424–1448, 2013, arXiv:0909.2360 .

[GLSŻ00]     Rostislav I. Grigorchuk, Peter Linnell, Thomas Schick, and Andrzej Żuk. On a question of Atiyah. C. R. Acad. Sci. Paris S ér. I Math. , 331(9):663–668, 2000, arXiv:math/0009175 .

[Gra14]     Łukasz Grabowski. On Turing dynamical systems and the Atiyah problem. Invent. Math. , 198(1):27–69, 2014, arXiv:1004.2030 .

[Gra16]     Łukasz Grabowski. Irrational l 2 invariants arising from the lamplighter group. Groups Geom. Dyn. , 10(2):795–817, 2016, arXiv:1009.0229 .

[GS]     Łukasz Grabowski and Thomas Schick. On computing homology gradients over finite fields, arXiv:1410.1693 .

[LOS12]     Peter Linnell, Boris Okun, and Thomas Schick. The strong Atiyah conjecture for right-angled Artin and Coxeter groups. Geom. Dedicata , 158:261–266, 2012, arXiv:1010.0606 .

[LW13]     Franz Lehner and Stephan Wagner. Free lamplighter groups and a question of Atiyah. Amer. J. Math. , 135(3):835–849, 2013, arXiv:1005.2347 .

[OS14]     Boris Okun and Richard Scott. The Atiyah conjecture for the Hecke algebra of the infinite dihedral group. Groups Geom. Dyn. , 8(4):1161–1194, 2014, arXiv:1202.6285 .

[PSZ15]     Mikaël Pichot, Thomas Schick, and Andrzej Zuk. Closed manifolds with transcendental L 2 -Betti numbers. J. Lond. Math. Soc. (2) , 92(2):371–392, 2015, arXiv:1005.1147 .

[Weg]     Christian Wegner. On the behaviour of the Atiyah Conjecture under taking subgroups and under taking quotients with finite kernel, arXiv:0810.1365 .