Your language?
Dec, 2018
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31

Morse 理論とその拡張

Morse 理論 しては , 有名 なのは Milnor [ Mil63 ] である なら [ 78 ] むのも いかもしれない Lie してある Bott よる [ Bot88 ] ここから download できる Chen による んでか , これらの んでみるのも いだろう Hutchings informal lecture note ある

  • Morse

Morse , k Betti Morse index k critical point えられるということを ている L 2 -Betti についても Morse つことを したのは , Novikov Shubin [ NS86 ] である Farber [ Far96 ] extended L 2 -(co)homology 導入 , Novikov らの している

  • Morse
  • L 2 -Morse
  • asymptotic L 2 -Morse (Mathai Shubin [ MS96 ] )
  • extended L 2 -(co)homology Morse

Betti ではなく , ホモロジ , そして ホモトピ , Morse から ようという のは である そのためには , transversality たした Morse になる

  • Morse-Smale
  • Morse-Bott (Morse-Bott-Smale)

これらの Morse があると chain complex , その ホモロジ がその ホモロジ になる Critical point submanifold にな いる , たせば chain complex , ホモロジ られる この 事実 , Banyaga Hurtubise [ BH ] では Morse Homology Theorem ばれている

  • Morse Homology Theorem

ホモトピ には , chain complex よりもその ホモトピ CW られるとうれしい そのような みとして , えば Kalmbach [ Kal75 ] がある また , R. Cohen Jones Segal preprint [ CJS ] では , Morse topological category , その ホモトピ にな るものが れることが されている Morse-Smale による cell については , Burghelea Friedlander Kappeler [ BFK10 ] をまず てみるとよいと

Morse 理論 , Morse というよりも , それからできる 1-form df ホモトピ する べていると えることができる Riemann ていれば , df ベクトル して gradient vector field grad f えることができる しその だろう

  • gradient vector field (gradient flow)

Pajitnov [ Paj ] によると , Morse 理論 gradient flow 使 うことを いたのは R. Thom [ Tho49 ] らしい Pajitnov にあるように , Riemann 使 わなくても vector field することはできるが

Morse deformation などを えようとすると , Morse より える てくる にも Morse 理論 えられ ている

Morse のような からは , level set connected component する することにより , Reeb graph という graph ができる

  • Reeb graph

これは , Reeb により [ Ree46 ] されたものであるが , トポロ でよく 使 われている まず Kurlin [ Kur ] などを てみるとよいかもしれ ない

𝔸 1 -homotopy theory での , Wendt [ Wen ] えられている Morse わりに , isolated fixed point 𝔾 m gradient flow とみなして いる

References

[BFK10]     Dan Burghelea, Leonid Friedlander, and Thomas Kappeler. On the space of trajectories of a generic gradient like vector field. An. Univ. Vest Timi ş. Ser. Mat.-Inform. , 48(1-2):45–126, 2010, arXiv:1101.0778 .

[BH]     Augustin Banyaga and David E. Hurtubise. Morse-Bott homology, arXiv:math/0612316 .

[Bot88]     Raoul Bott. Morse theory indomitable. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. , (68):99–114 (1989), 1988, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__99_0 .

[CJS]     R. L. Cohen, J.D.S. Jones, and G. B. Segal. Morse theory and classifying spaces, http://math.stanford.edu/ ~ ralph/morse.ps . preprint.

[Far96]     M. S. Farber. Homological algebra of Novikov-Shubin invariants and Morse inequalities. Geom. Funct. Anal. , 6(4):628–665, 1996, arXiv:dg-ga/9606013 .

[Kal75]     Gudrun Kalmbach. On some results in Morse theory. Canad. J. Math. , 27:88–105, 1975.

[Kur]     Vitaliy Kurlin. Book embeddings of Reeb graphs, arXiv:1312.1725 .

[Mil63]     J. Milnor. Morse theory . Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells. Annals of Mathematics Studies, No. 51. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1963.

[MS96]     Varghese Mathai and Mikhail Shubin. Twisted L 2 invariants of non-simply connected manifolds and asymptotic L 2 Morse inequalities. Russian J. Math. Phys. , 4(4):499–526, 1996, arXiv:dg-ga/9610018 .

[NS86]     S. P. Novikov and M. A. Shubin. Morse inequalities and von Neumann II 1 -factors. Dokl. Akad. Nauk SSSR , 289(2):289–292, 1986.

[Paj]     A. Pajitnov. C 0 -topology in Morse theory, arXiv:math/0303195 .

[Ree46]     Georges Reeb. Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complètement intégrable ou d’une fonction numérique. C. R. Acad. Sci. Paris , 222:847–849, 1946.

[Tho49]     René Thom. Sur une partition en cellules associée à une fonction sur une variété. C. R. Acad. Sci. Paris , 228:973–975, 1949.

[Wen]     Matthias Wendt. More examples of motivic cell structures, arXiv:1012.0454 .

[ 78]     . 理論 . , , 1978.