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Quillen の代数的 K 理論

ての n する K 理論 したのは Quillen である Quillen higher algebraic K -theory には りの 方法 ある

  • +-construction とそれによる higher algebraic K -theory [ Qui73 ]
  • Q -construction とそれによる higher algebraic K -theory [ Gra76 ]

+-construction する , Q -construction exact category である

Quillen higher algebraic K -theory については , Geometric Langlands seminar にある S. Bloch note にまとめられている れを んでから にあたるのがよいかもしれない

つの にも , えば Wagoner によるもの [ Wag73 ] もある これは general linear group から simplicial complex , その ホモト として するものである Quillen algebraic K -theory することも [ AKW73 AKW77 Wag78 ] されている その simplicial complex をより することも えられている Essert [ Ess ] など

Grayson [ Gra12 ] , exact category K -theory 生成 により することに している その [ Gra ] では , relative K -theory ている これまでは , Quillen exact category K -theory 使 うためには , かなり モトピ しなければならなか たが , この Grayson 使 えば , なことだけで Quillen algebraic K -theory 使 えるようになる , というこ とか

  • Grayson

K -theory との では , Bott periodicity つかどうかというの であるが , それについては , Berrick, Karoubi, Østvær [ BKØ11 ] introduction るのがよい

  • algebraic K -theory with finite coefficients periodicity

Quillen [ Qui73 ] した algebraic K -theory として , dévissage theorem locailzation theorem がある

  • dévissage theorem
  • localization theorem

その ring spectrum Barwick Lawson [ BL ] えている

このように ring specrum されると , stable homotopy theory したくなる えば , Rognes による algebraic K -theory functor chromatic filtration する がある S -algebra algebraic K -theory ると chromatic filtration がるという である

Algebraic K -theory spectrum がどのような コホモロジ している , というのは であるが , あまり えた はいないようである Lind [ Lin16 ] によると , ring spectrum 0 コホモロジ については , ring spectrum finite rank free module bundle いて せる , しい

Blumberg Mandell [ BM ] によると 換環 やより commutative ring spectrum algebraic K -theory はよく ていないようである sphere spectrum algebraic K -theory nilpotent であるこ とを している

Algebraic K -theory がどのような すのか , というのは である えば , Dugger Shipley , derived category triangulated category として になる については , algebraic K -theory になることを [ DS04 ] している , Schlichting [ Sch02 ] , derived category あるが Waldhausen K -theory なる つの model category して いる

このように , Quillen K -theory としては , Waldhausen による である Waldhausen model category , つまり weak equivalence cofibration category ( Waldhausen category ) algebraic K -theory した

Blumberg Mandell [ BM11 ] いてあるように , Quillen algebraic K -theory える でも , Waldhausen K -theory まで げて えた がよいこと いようである そこには Thomason Trobaugh [ TT90 ] として げら れている

Raptis Steimle [ RS ] には , higher algebraic K -theory として , Quillen Q -construction Waldhausen S -construction にも , Thomason T -construction, Gillet-Grayson G -construction, Quillen S - 1 S -construction げられている Raptis Steimle しい している

Barwick [ Bar15 ] , exact -category 導入 , その algebraic K -theory した

  • exact -category algebraic K -theory

, algebraic K -theory して spectrum させ functor であるが , Devalapurkar [ Dev ] Barwick , exact -category stable -category させることを して いる

Barwick , exact -category algebraic K -theory について , Theorem of the Heart, つまり t -structure triangulated category とその heart algebraic K -theory つことを している

  • Theorem of the Heart

K 理論 には があるため , version がある なことも めて , しくは Barwick [ Bar15 ] Introduction ると よい

References

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