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特異コホモロジーにおける作用素

コホモロジ , コホモロジ での , Steenrod である ただし , Steenrod には コホモロジ にな なので , まずはこれらの として ぶべきだ ろう

  • i 0
      i   n               n+i
Sq : H (X;ℤ ∕2ℤ) -→ H   (X; ℤ∕2ℤ)

  • p i 0
     i   n               n+2i(p-1)
P  : H (X; ℤ∕pℤ) -→ H       (X; ℤ∕pℤ)

  • Sq 1
    0 -→ ℤ∕2ℤ -→ ℤ  -→  ℤ∕2ℤ -→ 0
               4

    Bockstein する

  • unstablity
  • Cartan formula
  • Adem relation

この Adem relation から できる コホモロジ への れば , だからである としては Bullett Macdonald [ BM82 ] がある Bisson Tsemo [ BT08 ] では , この Bullett Macdonald 1977 Bisson thesis [ Bis77 ] されて いる

これらの Steenrod algebra という

  • Steenrod algebra

これらの することの , つまり にはいくつかの 方法 ある 典的 には p ( ) コホモロジ 調 べることにより きる それについては Steenrod Epstein [ Ste62 ] May [ May70 ] むとよ いだろう

May , [ May70 ] ホモロジ して みを している その , universal Steenrod algebra ともいうべき されている Lomonaco [ Lom90 CL04 BCL05 BCL10 BC17 ] により 調 べられて いる

  • universal Steenrod algebra

みで えるということは , operad しているとい うことである , Steenrod operation singular cochain algebra Hom( S * ( X ) , 𝔽 p ) homotopy , つまり E -algebra つこ とに している えば , Hinich Schechtman [ HS87 ] , Kriz May [ KM95 ] , Chataur Livernet [ CL05 ] , Mandell [ Man06 ] などを ると よい

には , コホモロジ 純粋 されるもの [ Ben98 ] もある Kan-Thurston [ KT76 ] より , コホモロジ コホ モロジ として できるから , これでも Steenrod にな いる

また R.M.W. Wood による 微分 いた [ Woo97 ] ある

Steenrod 調 べると , CW がどのような りついて いるかわかる がある えば 以下 のような である

  • X n ( n - 1) 2-cell complex , mod 2 cohomology Sq 1 x n - 1 = x n であるなら
    X   ≃ Sn-1 ∪ CSn -1
 (2)        2

  • X n ( n - 2) 2-cell complex , mod 2 cohomology Sq 2 x n - 2 = x n であるなら
            n-2        n-1
X (2) ≃ S   ∪ ηn-1 CS

  • X n ( n - 4) 2-cell complex , mod 2 cohomology Sq 4 x n - 4 = x n であるなら
           n-4        n-1
X(2) ≃ S   ∪ νn-1 CS

  • X n ( n - 8) 2-cell complex , mod 2 cohomology Sq 8 x n - 8 = x n であるなら
    X (2) ≃ Sn-8 ∪ σn-1 CSn-1

  • p とする X n ( n - 2 p + 2) 2-cell complex , mod p cohomology P 1 x n - 2 p +2 = x n であるなら
           n- 2p+2       n-1
X (p) ≃ S      ∪α1 CS

  • p とする X n , n - 1, n - 2 p + 1, n - 2 p つづつ CW complex , mod p cohomology
       βxn-2p  =  xn-2p+1
P1xn-2p+1  =  xn-1
    βxn-1  =  xn
    であるなら
            n-2p+1         n-1
X (p) ≃ P      (p)∪v1 CP   (p)

    ただし P n - 1 ( p ) ( n - 1) mod p Moore space である

もちろん , Steenrod operation だけで ての detect できるわけで はない には secondary あるいはより operation 使 わないといけない えば , では β 1 がそうである

Grassmann コホモロジ Steenrod わされる [ Len98 ]

Steenrod 平方 ( Sq i ) , cup- i product として され 現在 では , cup- i product 使 われることはあまりないが , Steenrod アイデア しておいても はないだろう

Steenrod [ Ste47 ] いてあるので , みづらい Dieudonné [ Die89 ] むとよいだろう

Equivariant ordinary cohomology する Steenrod algebra えられ ている えば 2 , Hu Kriz [ HK01 ] § 6 れている それによると , 調 べられたのは Greenlees thesis らし いが

  • 2 -equivariant Steenrod algebra

Ricka [ Ric15 ] Adams Margolis [ AM74 ] えている

equivariant Steenrod algebra はどれぐらい ているのだろ うか

References

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