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Topological Hochschild Homology

れずに えば , Hochschild homology associative ring associative ring spectrum えて られる spectrum topological Hochschild homology である どの されたのかは きりしないが , topological Hochschild homology された については , Dundas Goodwillie McCarthy [ DGM13 ] Chapter IV しく かれている

には , 1990 (1980 ?) Bökstedt により えられたというこ とにな ているが , Basterra Mandell [ BM11 ] かれているように , Waldhausen によりその されていたようである Dundas Goodwillie McCarthy では , として [ Wal79 ] されている そし , その Waldhausen ると , にな たのは K. Dennis 1976 1 Evanston での のようである ただ , Dundas Goodwillie McCarthy によると , Goodwillie K -theory Hochschild homology “topological Hochschild homology” ぶべきものが すると したらしい その うものを したのが Bökstedt たようで ある

としては , その Dundas Goodwillie McCarthy [ DGM13 ] しい より かい としては , May lecture note がある Richter commutative ring spectrum [ Ric ] § 6 にも がある

より アプロ として cyclic bar construction による ある

  • cyclic nerve
  • cyclic bar construction

Shipley [ Shi00 ] によりその つの 方法 なわれているが , そこには error があり , その いが Patchkoria Sagave [ PS16 ] されて いる

にも , Angeltveit [ Ang08 ] による associahedra いた topological Hochschild (co)homology もある また , Nikolaus Scholz [ NS ] による ある

topological Hochschild homology なだけなら , このような このような されているのは , topological Hochschild homology topological cyclic homology にな ているからである topological cyclic homology するために つように されているので ある

Angeltveit Rognes [ AR05 ] topological Hochschild homology Hopf algebra structure について している Gorenstein については Greenlees [ Gre16 ] 調 べられている

この Greenlees § 5 には , ring spectrum morphism R k により k R -bimodule とみたときの R k topological Hochschild homology がま とめられている

とも , spectrum された なので , する ring spectrum もいろいろある えば , CW X Spanier-Whitehead dual D ( X ) については , Malkiewich [ Mal17 ] がその topological Hochschild homology 調 べている

Connective complex K -theory p localize したときの topological˙K˙basics.html Adams summand , McClure Staffeldt [ MS93 ] により されている periodic Adams summand して いる

Adams summand ではない , connective complex K -theory spectrum については , Ausoni [ Aus05 ] 調 べているが , mod ( p,v 1 ) での homotopy しただけで ある

Periodic complex K -theory spectrum については , Stonek [ Sto ] 調 べて いる

Spectral category への Dundas McCarthy [ DM96 ] により られた Blumberg Mandell [ BM12 ] るとよい

  • spectral category topological Hochschild homology

Brun Carlsson Dundas [ BCD10 ] によると , ring spectrum A commutative , topological Hochschild homology functor

Λ(A) : Spaces -→ Spectra

され , S 1 topological Hochschild homology になる

ΛS1(A) ≃ THH (A )

らしい その にな ているのは , commutative algebra Hochschild complex Loday [ Lod89 ] づいた , higher order Hochschild complex である Ring spectrum したのは , Brun Carlsson Dundas [ BCD10 ] のよ うである そして , S n れた のものを higher topological Hochschild homology という Schlichtkrull [ Sch11 ] Thom spectrum 調 べて いる

McClure Schwänzl Vogt [ MSV97 ] による THH( A ) A S 1 という ある

Brun Fiedorowicz Vogt [ BFV07 ] E n -ring spectrum topological Hochschild homology E n - 1 -ring spectrum つことを している , E n -ring spectrum しては , topological Hochschild homology n して することができる ただし , Brun Fiedorowicz Vogt 方法 では , topological Hochschild homology すためには , そのつど spectrum えないと いけないが , Basterra Mandell [ BM11 ] はその にする えて いる

Topological Hochschild homology Thom spectrum との , Blumberg Ralph Cohen Schilichtkrull [ BCS10 ] により 調 べられている その として , ko ku Thom spectrum ではないことを したのが Angeltveit Hill Lawson [ AHL09 ] である また Basu [ Bas17 ] , Ando らの された Thom spectrum [ ABG + a ] topological Hochschild homology Thom spectrum として されること している

Blumberg Mandell [ BM ] , topological Hochschild homology simplicial Waldhausen category している その algebraic K -theory localization などの topological Hochschild homology るためである らは , quasicategory algebraic K -theory topological Hochschild homology input として 使 うことも えているようで ある

この algebraic K -theory (topological) Hochschild homology , algebraic K -theory から topological Hochschild homology への , , trace map により えら れる これは topological cyclic homology factor , それにより algebraic K -theory のことがよく かるようである そして , topological cyclic homology のために , topological Hochschild homology cyclotomic structure という なる

この のことについては , Angeltveit らの [ ABG + b ] Introduction しく れている また , これらに することをまとめた Dundas Goodwillie McCarthy [ DGM13 ] である

としては , Rognes [ Rog09 RSS15 ] logarithmic topological Hochschild homology もある

  • logarithmic topological Hochschild homology

Kato logarithmic geometry [ Kat89 ] ホモトピ けようというものら しい Pre-log ring spectrum という commutative symmetric spectrum したものに して される Sagave Schlichtkrull [ RSS18 ] では , topological K -theory spectrum 調 べられている

“Real” については , Hesselholt Madsen “real algebraic K -theory” いて ある この から download できる

  • real topological Hochschild homology

, Dotto thesis [ Dot ] Høgenhaven [ Høgb Høga ] にも かれてい Dotto [ DMPR ] , より えている

Hochschild homology , algebra coalgebra , bar construction cobar construction えたものとして , Cartier homology あるいは coHochschild homoloty ばれるものがある その topological version もある Bohmann [ BGH + ] によると , Hess Shipley により 導入 されたらしい

  • topological coHochschild homology

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