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Abel 圏でのホモロジー代数

Abel については Freyd [ Fre64 ] がある Theorey and Applications of Categories reprint として PDF イル できる ようにな

Chain complex やその ホモロジ には , いて diagram chasing する のが である つまり , その でうつして , 使 するのである

ところが , そのような , らないでも できることが そこで るのが しい においても ホモロジ なうために Abel 導入 された additive category , kernel cokernel するある をみたすもの として するので , まずは , additive category kernel, cokernel しない といけない

Janelidze Márki Tholen [ JMT02 ] によると , factorization system いると Abelian category べられるようである

  • factorization system いた Abelian category

Abel するためにはいくつか ているとよい でも のは である Abel popular にな たのは , Grothendieck により コホモロジ すようにな たことが きいので ある

  • ある Abel Abel になること

, ある Abel における , その Abel small subcategory なら ないが , Abel small subcategory はある むことがで きるのである つまり , どんな Abel であ ても diagram chasing する ことができるのである

  • small Abel はある module fully faithful ことができる

この , ほぼ によ されたようである えば [ Lub60 Mit64 ] など また Freyd Abel [ Fre64 ] , この にして いる

Small Abel , 不変 としても れる えば , ある coherent sheaf のなす など その derived category える いが small Abelain category derived category 不変 があれば , 不変 られる

Small Abel 不変 としては , Hall algebra (Ringel-Hall algebra) というものが ある

ホモロジ なうためには 以下 である

  • injective object
  • Abel enough injectives つこと
  • projective object
  • Abel enough projectives つこと

Frobenius module のように projectives injectives する もある

colimit じていて , colimit , そしてある object 生成 れているような Abel Grothendieck category という Garkusha [ Gar01 ] されている

  • Grothendieck category とその Serre subcategory

colimit じているが , limit じていない Abel があるか , という MathOverflow , 2012 して しばらく できなか , 2014 Rickard けた それが にな たのが [ Ric ] ある

Grothendieck Verdier [ Ver96 ] , ホモロジ なう には ホモロジ るべきではない , ということに づいた より えば , Abel A object M 調 べるときに , その resolution 0 -→ M -→ C * , functor F apply してから homology

M  =⇒ C * = ⇒ F(C *) =⇒ H (F(C *))

という れの , ホモロジ chain complex (resolution) level える である , ということである そのために された のが Abel であり , その としての triangulated category ある

するときには quasi-isomorphism とみなすが , ポロジ からは , その なう えた ある

モデル Quillen により された であり , トポロジ モデル つことが られている Quillen モデル をすることを ホモトピ トポロジ からは , ホモロジ なう にもできるだけ ホモトピ るようにした がよいかもしれない えば , Goerss Schemmerhorm [ GS07 ] るとよい

Abel として 以下 のようなものがある

これらの では pre-additivity, つまり Abel category enrich されている ことを しているが , Deitmer cite1105.5290 , 𝔽 1 ホモロジ するた めに , pre-additive とは らないが kernel cokernel つような での ホモロジ について えている Deitmer はそのような Belian category んで いる

  • Belian category

Abel としては , Nakaoka [ Nak08 ] がある M. Dupont [ Dup ] もあ それらの [ Nak10 ] なわれている

References

[Dup]     Mathieu Dupont. Abelian categories in dimension 2, arXiv:0809.1760 .

[Fre64]     Peter Freyd. Abelian categories. An introduction to the theory of functors . Harper’s Series in Modern Mathematics. Harper & Row Publishers, New York, 1964.

[Fre66]     Peter Freyd. Stable homotopy. In Proc. Conf. Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965) , pages 121–172. Springer, New York, 1966.

[Gar01]     G. A. Garkusha. Grothendieck categories. Algebra i Analiz , 13(2):1–68, 2001, arXiv:math/9909030 .

[GS07]     Paul Goerss and Kristen Schemmerhorn. Model categories and simplicial methods. In Interactions between homotopy theory and algebra , volume 436 of Contemp. Math. , pages 3–49. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, arXiv:math/0609537 .

[JMT02]     George Janelidze, László Márki, and Walter Tholen. Semi-abelian categories. J. Pure Appl. Algebra , 168(2-3):367–386, 2002, http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(01)00103-7 . Category theory 1999 (Coimbra).

[Lub60]     Saul Lubkin. Imbedding of abelian categories. Trans. Amer. Math. Soc. , 97:410–417, 1960.

[Mit64]     Barry Mitchell. The full imbedding theorem. Amer. J. Math. , 86:619–637, 1964, https://doi.org/10.2307/2373027 .

[Nak08]     Hiroyuki Nakaoka. Cohomology theory in 2-categories. Theory Appl. Categ. , 20:No. 16, 543–604, 2008.

[Nak10]     Hiroyuki Nakaoka. Comparison of the definitions of abelian 2-categories. Tsukuba J. Math. , 34(2):173–182, 2010, arXiv:0904.0078 .

[Ric]     Jeremy Rickard. A cocomplete but not complete abelian category, arXiv:1805.10682 .

[Ver96]     Jean-Louis Verdier. Des catégories dérivées des catégories abéliennes. Ast érisque , (239):xii+253 pp. (1997), 1996. With a preface by Luc Illusie, Edited and with a note by Georges Maltsiniotis.