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Bicategory

Bicategory とは (strict) 2-category めたものである そのた めに weak 2-category ばれることもある

Leinster [ Lei ] , bicategory についてまとめたものである Lack Paoli [ LP08 ] によると , bicategory についての , Bénabou [ Bén67 ] , Kelly Street [ KS74 ] , そして Street [ Str80 ] ある

Lack Paoli , その bicategory 2-nerve 導入 している にも , small bicategory して nerve をとる 方法 えらえて いる

Bicategory 2-category 様様 かけるようにな , Landsman [ Lan01 ] るとよい 以下 のような しく して ある :

  • object ring, 1-morphism bimodule, 2-morphism bimodule , composition tensor product, unit canonical bimodule
  • object C * -algebra , 1-morphism Hilbert C * -bimodule, 2-morphism C * -bimodule , composition Rieffel tensor product, unit canonical Hilbert bimodule
  • object von Neumann algebra , 1-morphism correspondence, composition Connes tensor product, unit standard form ( [ Bro03 ] )
  • object Lie groupoid , 1-morphism regular bibundle, composition Hilsum-Skandalis tensor product, unit canonical bibundle
  • object symplectic groupoid, 1-morphism regular symplectic bibundle, composition Hilsum-Skandalis-Xu tensor product, unit canonical symplectic bibundle
  • object integrable Poisson manifold , 1-morphism regular symplectic bimodule, composition Xu tensor product, unit s -connected s -simply connected symplectic groupoid

にも のような がある :

  • ある 換環 R algebra A coalgebra C R tensor する 順序 える object とする bicategory [ Š ]
  • Müger [ Müg03 ] von Neumann algebra factor から られるいくつ かの bicategory について えている

これらの から , bicategory いことが かる

双対 , coalgebra bicomodule でも bicategory ができる

もちろんこのような , “bimodule なもの 1-morphism とするもの , small category functor natural transformation 2-category のように , 1-morphism “object morphism” であるものも ある

では , bicategory higher invertible morphism した ( , 2)-category えることもできるようにな えば , Haugseng [ Hau17 ] , algebra bimodule bimodule homomorphism bicategory ( , 2)-category して いる

Bicategory しては , monad comonad できる Small category bicategory monad comonad になる Street [ Str72 ] でこの ことをまとめ , bicategory C monad bicategory Mnd ( C ) している れは Lack との [ LS02 ] でより きな bicategory EM ( C ) れた

  • bicategory での monad comonad

category して 事実 bicategory する もいろいろある , おそらく なのは , bicategory する Yoneda Lemma だろう Street [ Str74 ] にある

  • bicategory する Yoneda Lemma

これは , bicategory strict 2-category bicategory として になるという coherence theorem にも 使 える

  • bicategory coherence theorem

Niles Johnson [ Joh ] , この bicategory Yoneda Lemma Morita える にも 有用 であることを している また , つの object triangulated category model category えて いる

  • triangulated bicategory
  • model bicategory

Johnson [ Joh14 ] , bicategory での Azumaya object えているが , そこでは symmetric monoidal category many-objectification である symmetric bicategory いう 使 われている

  • symmetric bicategory

Monoidal structure bicategory, つまり monoidal bicategory やその symmetric version, symmetric monoidal bicategory というものもよく 使 われるからや やこしい

  • monoidal bicategory
  • braided monoidal bicategory
  • symmetric monoidal bicategory

Crans Gurski [ Gur11 ] によると Kapranov Voevodsky による braided monoidal bicategory [ KV94 ] には なところがあ , Baez Neuchl [ BN96 ] Crans [ Cra98 ] により されている また , Day Street によるもの [ DS97 ] もある

Monoidal category があると , それで enrich された category できるが , monoidal bicategory からも enriched bicategory できる Hoffnung [ Hof ] など

  • monoidal bicategory により enrich された bicategory

Shulman [ Shu08 ] によると , これら 2 bicategory bimodule なものを 1-morphism とするものは いづらいようである えば , monoidal structure するときには , coherence わす 方法 であるが , bimodule なもの 1-morphism とすると , それが しい そこで Shulman bimodule なものを 1-morphism とする bicategory でも , object morphisms framed bicategory という 導入 している そのような 2 morphism つものを える には double category 有用 なようで ある

ある category span から られる bicategory bimodule のなす bicategory である Lack, Walters, Wood [ LWW10 ] はそのような bicategory , もとの category finite limit つようなものを づけている そこで いられているの , Carboni, Kelly, Walters, Wood [ CKWW ] された cartesian bicategory ある

  • cartesian bicategory

Bicategory えている [ Bak ] もいる Bicategory する Grothendieck construction (homotopy colimit) えている [ CCG11 ] いる

Douglas Henriques [ DH ] , category 2-category bicategory object internal bicategory んで 調 べている

Supercategory bicategory として superbicategory という えられる Murfet [ Mur ] する

  • superbicategory

とも , Murfet [ Mur ] での , cut system という bicategory である

  • cut system

Matrix factorization などに 使 えるようである

References

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