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2 項係数と関連した話題

2 , 高校 でも する combinatorial number ある その generating function ( t + 1) n であるというのが ある

  • 2

トポロジ めて 2 使 うのは , コホモロジ , つまり Adem relation 使 うときだろう

そのために , 2 mod p えたときの ているとよい えば ,

n = n 0 + n 1 p + ⋅⋅⋅ + n k p k
m = m 0 + m 1 p + ⋅⋅⋅ + m k p k
n m p とするとき , mod p
(  )   (   )(   )   (   )
 n      n0    n1      nk
 m   ≡  m0   m1   ⋅⋅⋅  mk

となる これは Steenrod Epstein [ Ste62 ] では Lemma 2.6 として べられている , したのかよく からない より くは Fine [ Fin47 ] あるが , そこでは Lucas “Theorie des Nombres” されている Mestrovic [ Meš ] Lucas , その などについて べて いる

トポロジ ではあまり 使 わないが , p とした もある Grinberg [ Gri ] では p 2 とした われている

Adem relation には , Bullett MacDonald なもの ある

Adem relation のときもそうであるが , 2 けたものを してできる せると 便 である そのような つける 方法 としては , Wilf-Zeilberger 理論 がある より hypergeometric series についてのものであ るが

  • Wilf-Zeilberger algorithm

Wilf Zeilberger [ WZ90 ] であるが , Zeilberger [ Zei ] Tefera による “WAHT IS [ Tef10 ] がある またより しくは , Petkovšek Wilf Zeilberger [ PWZ96 ] るとよい この Wilf ムペ から download できる

2 には quantum algebra である , q -binomial coefficients があり , 使 われている もう やした q,t -binomial coefficients Reiner Stanton [ RS10 ] している Coskun によるもの [ Cos10 ] ある

  • q -binomial coefficients
  • q,t -binomial coefficients

にも , 典的 quantum version えられている MacMahon Master Theorem など

2 もある Blumen [ Blu06 ] など Aguiar [ Agu98 Agu00 ] 2 braided analogue , その 調 べている

  • binomial braids

Cano Díaz [ CD ] , continuous version えている その にな ているのは , lattice path としての 2 である “continuous directed path” moduli space 体積 として している また Catalan number continuous している

  • continuous binomial coefficients

References

[Agu98]     Marcelo Aguiar. Braids, q -binomials, and quantum groups. Adv. in Appl. Math. , 20(3):323–365, 1998, http://dx.doi.org/10.1006/aama.1998.0585 .

[Agu00]     Marcelo Aguiar. Zonotopes, braids, and quantum groups. Ann. Comb. , 4(3-4):433–468, 2000, http://dx.doi.org/10.1007/PL00001289 . Conference on Combinatorics and Physics (Los Alamos, NM, 1998).

[Blu06]     Sacha C. Blumen. Two generalisations of the binomial theorem. Austral. Math. Soc. Gaz. , 33(1):39–43, 2006, arXiv:math/0512233 .

[BM82]     S. R. Bullett and I. G. Macdonald. On the Adem relations. Topology , 21(3):329–332, 1982.

[CD]     Leonardo Cano and Rafael Diaz. Continuous Analogues for the Binomial Coefficients and the Catalan Numbers, arXiv:1602.09132 .

[Cos10]     Hasan Coskun. Multiple analogues of binomial coefficients and families of related special numbers. Discrete Math. , 310(17-18):2280–2298, 2010, arXiv:1001.3466 .

[Fin47]     N. J. Fine. Binomial coefficients modulo a prime. Amer. Math. Monthly , 54:589–592, 1947, http://dx.doi.org/10.2307/2304500 .

[Gri]     Darij Grinberg. On binomial coefficients modulo squares of primes, arXiv:1712.02095 .

[Meš]     Romeo Meštrović. Lucas’ theorem: its generalizations, extensions and applications (1878–2014), arXiv:1409.3820 .

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[Ste62]     N. E. Steenrod. Cohomology operations . Lectures by N. E. STeenrod written and revised by D. B. A. Epstein. Annals of Mathematics Studies, No. 50. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1962.

[Tef10]     Akalu Tefera. What is a Wilf-Zeilberger pair? Notices Amer. Math. Soc. , 57(4):508–509, 2010.

[WZ90]     Herbert S. Wilf and Doron Zeilberger. Rational functions certify combinatorial identities. J. Amer. Math. Soc. , 3(1):147–158, 1990, http://dx.doi.org/10.2307/1990986 .

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