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Bounded cohomology と ℓ1-homology

Bounded cohomology 1 -homology , Gromov により [ Gro82 ] された コホモロジ ホモロジ である イン りに bounded いう をつける ただ , Frigerio [ Fri ] によると , bounded cohomology , Gromov よりず B.E. Johnson [ Joh72 ] Trauber により 導入 されていたよう である

Gromov アイデア をきちんと いたものとして Ivanov [ Iva85 ] があるが , bounded cohomology について するのなら , まず Bühler thesis るのがよいだ ろう この ETH サイト から download できる Bühler のは , quasi-Abelian category exact category , そしてその derived category t -structure などを いて ホモロジ いてあるので その Bühler 仕事 にな Monod [ Mon01 ] もある むものとしては , Monod ICM での [ Mon06 ] いよ うに うが そこには bounded cohomology する かれて いる

には , bounding class B , それに する B -bounded cohomology として うのが のようである

まず になるのが ordinary cohomology とどれぐらい なるか , であるが , bounded cohomology から ordinary cohomology への canonical があるので , れが かを えることになる これについては Monod [ Mon06 ] Problem A として , Lie であるものに しては になるか , という げられている については , として げているようで , くは Dupont [ Dup79 ] などが ある

Bounded cohomology での transfer については , Chatterji Mislin [ CM ] ある

1 -homology はある bounded cohomology ホモロジ とも えられるが , 1 -homology bounded cohomology , 双対 については Löh [ Löh08 ] Bühler [ Büh ] 調 べている

K -theory bounded cohomology version えている もいる Fowler Ogle [ FO11 ] である , より bounded homotopy theory とか weighted algebraic topology ぶべきものを しているようである

References

[Büh]     Theo Bühler. On the Duality between 1 -Homology and Bounded Cohomology, arXiv:0803.0680 .

[CM]     Indira Chatterji and Guido Mislin. On transfer in bounded cohomology, arXiv:0910.0514 .

[Dup79]     Johan L. Dupont. Bounds for characteristic numbers of flat bundles. In Algebraic topology, Aarhus 1978 (Proc. Sympos., Univ. Aarhus, Aarhus, 1978) , volume 763 of Lecture Notes in Math. , pages 109–119. Springer, Berlin, 1979.

[FO11]     J. Fowler and C. Ogle. Bounded homotopy theory and the K -theory of weighted complexes. Tr. Mat. Inst. Steklova , 275(Klassicheskaya i Sovremennaya Matematika v Pole Deyatelnosti Borisa Nikolaevicha Delone):210–226, 2011, arXiv:1102.0497 .

[Fri]     Roberto Frigerio. Bounded cohomology of discrete groups, arXiv:1610.08339 .

[Gro82]     Michael Gromov. Volume and bounded cohomology. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. , (56):5–99 (1983), 1982, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1982__56__5_0 .

[Iva85]     N. V. Ivanov. Foundations of the theory of bounded cohomology. Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) , 143:69–109, 177–178, 1985. Studies in topology, V.

[Joh72]     Barry Edward Johnson. Cohomology in Banach algebras . American Mathematical Society, Providence, R.I., 1972. Memoirs of the American Mathematical Society, No. 127.

[Löh08]     Clara Löh. Isomorphisms in l 1 -homology. M ünster J. Math. , 1:237–265, 2008, arXiv:math/0612589 .

[Mon01]     Nicolas Monod. Continuous bounded cohomology of locally compact groups , volume 1758 of Lecture Notes in Mathematics . Springer-Verlag, Berlin, 2001, http://dx.doi.org/10.1007/b80626 .

[Mon06]     Nicolas Monod. An invitation to bounded cohomology. In International Congress of Mathematicians. Vol. II , pages 1183–1211. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006.