ファ イバー束と関連した事柄

Steenrod の 本 [ Ste51 ] は 古 い 本 ではあるが , 今 だに フ ァ イバ ー 束 については 最 も 有名 な 本 である 。 私自 身 も 学 生 のときは , この 本 で フ ァ イバ ー 束 について 学 んだ 。 Steenrod は フ ァ イバ ー 束 を 可 微分 多 様 体 の 微分 構 造 とよく 似 た 複 雑 な デ ー タ の 集 まり として 定 義 した 。 その 定 義 は , 微分 幾 何 や 数 理 物 理 には 適 しているかもし れないが , 代 数 的 トポロジ ー にと っ ては 余 分 な 情 報 が 多 く 含 まれたもので ある 。 Husemoller の 本 [ Hus94 ] の 方 がより トポロジ ー 的 かつ 現 代 的 で 読 み 易 い 。

フ ァ イバ ー 束 を 理 解 するには , まずは , 以下 の 定 義 と 事実 を 上 の 二 つの 本 から 探 し 出 すことから 始 めると 効 率 的 だろう 。 その 前 に 被覆 空 間 に 慣 れ 親 しんでおいた 方 がいいか もしれないが 。

• フ ァ イバ ー 束 ( fiber bundle) の 定 義
• 座 標変 換 (coordinate transformation) あるいは transition function の 定 義
• 構 造 群 (structure group) の 定 義
• 主 束 (principal bundle) の 定 義
• 切 断 (cross section または section) の 定 義
• 切 断 を 持 つ 主 束 は 自 明 である
• 主 束 に 同伴 (associate) した フ ァ イバ ー 束 の 定 義

主 G 束 は , 局 所 自 明 化 を 用 いずに 群 の 作 用 のみを 用 いて 定 義 することができ る 。 これについては , Baum, Hajac, Matthes, Szymanski の [ BHMS ] を 見 るとよい 。 このような , 群 作 用 のみで 定 義 された 主 G 束 は G -torsor と 呼 ば れる 。

もちろん , 局 所 自 明 化 も 有用 である 。 構 造 群 G を 持 つ fiber bundle

の 局 所 自 明 化

が 与 えられると , 座 標変 換

が 決 まる 。 { g _αβ } _{α,β ∈ A} が Čech 1-cocycle になることはすぐ 分 かる 。 逆 に Čech 1-cocycle が 与 えられると , それを 座 標変 換 の デ ー タ とする フ ァ イバ ー 束 を 再 構 成 できる 。 この 対 応 は 様 々 な 幾 何 学 的 応 用 で 重 要 である 。 例 えば gerbe など 。

• 主 G 束 p : E -→ B の 座 標変 換 の デ ー タ と G に 値 を 持 つ Čech 1-cocycle の 間 の 対 応

二 つの フ ァ イバ ー 束 を 比 較 するときには , その 間 の 写 像 を 考 える 必 要 が ある 。

• フ ァ イバ ー 束 の 間 の 写 像 の 定 義
• 二 つの フ ァ イバ ー 束 が 同 値 であることの 定 義
• フ ァ イバ ー 束 の 連 続 写 像 による 引 き 戻 し (pull-back) が フ ァ イバ ー 束 になる
• ホモトピ ッ ク な 二 つの 連 続 写 像 による フ ァ イバ ー 束 の 引 き 戻 しは 同 値 である
• パラコンパクト Hausdorff 空 間 の 上 の フ ァ イバ ー 束 は 被覆 ホモトピ ー 性 質 を 持 つ
• パラコンパクト Hausdorff 空 間 X 上 の 主 G 束 の 同 値 類 は X から BG への 連 続 写 像 の ホモトピ ー 類 と 一 対 一 に 対 応 する
• つまり X 上 の 主 G 束 の 同 型 類 の 集 合 , P _G ( X ), は パラコンパクト Hausdorff 空 間 と 連 続 写 像 の homotopy category から 集 合 の 圏 への , BG という 空 間 で 表 現 される 表 現 可 能 関 手 になる

この 意 味 で , BG は 主 G 束 の 同 型 類 を 分 類 するので , G の 分 類 空 間 と 呼 ばれる 。 Steenrod による BG の 構 成 ( [ Ste51 ] ) は , その 後 様 々 に 一 般 化 , そして 精 密 化 されてい る 。 詳 しくは 分 類 空 間 の ペ ー ジ を 参 照 のこと 。

上 の パラコンパクト Hausdorff という 条 件 はもう 少 し 弱 くすることができ る 。 例 えば , Dold の [ Dol63 ] など 。 Wirth と Stasheff の [ WS06 ] も 見 ると よい 。

フ ァ イバ ー 束 のような 複 雑 な デ ー タ を 扱 う 際 には , 具 体 例 をいくつか 知 っ ていると よい 。

• Möbius の 帯 と Klein の 壷 は S ¹ 上 の フ ァ イバ ー 束
• Hopf 束
  
  最後 のものを 除 いてこれらは 主 束 である 。 これらの 写 像 は Hopf map と 呼 ばれ , 球 面 の ホモトピ ー 群 で 最 も 基 本 的 な 元 である 。
• 多 くの 場 合 , 位 相 群 のその 部分 群 による 商 群 への 射 影

  は 主 H 束 になる 。

より 一 般 に , 位 相 空 間 X への 位 相 群 G の 作 用 が 与 えられているとき , 射 影

が 主 G 束 になるのはどんな 場 合 だろう ? これについては , Baum, Hajac, Matthes, Szymanski の [ BHMS ] の 1, 特 に 1.5 が 詳 しい 。

• Lie 群 G が completely regular space X に free に 作 用 するなら , projection X → X∕G は principal G -bundle になる 。 [ Pal61 ]

M. Davis は , [ Dav78 ] において , X が 滑 らかな 多 様 体 で G が compact Lie 群 の 場 合 に 射 影 が “stratified fiber bundle”, つまり 適 当 に 分 割 す ( stratification を 入 れ ) れば , そ れぞれの stratum 上 で フ ァ イバ ー 束 になることを 示 している 。

ベクトル 束 も 重 要 な フ ァ イバ ー 束 の 一 種 である 。 可 微分 多 様 体 ではないも のに 対 しても tangent bundle の 類 似 を 定 義 するために , Milnor [ Mil64 ] は microbundle という 概 念 を 定 義 した 。 また , 高 次 の bundle として gerbe などが ある 。

• ベクトル 束
• microbundle
• gerbe や 高 次 ベクトル 束 などの higer order bundles

フ ァ イバ ー 束 は , 微分 幾 何 で 主 要 な 道 具 として 使 われてきた 。 古 典的 な 接続 や 曲 率 と い っ た 概 念 は フ ァ イバ ー 束 の 言 葉 で 定 義 し 直 されている 。

• 可 微分 フ ァ イバ ー 束 (smooth fiber bundle) の 定 義
• 可 微分 フ ァ イバ ー 束 を 用 いた 接続 と 曲 率 の 定 義
• 可 微分 フ ァ イバ ー 束 に 対 する Becker-Gottlieb transfer

構 造 群 以 外 の 群 の 作 用 を 考 えることもできる 。 Equivariant fiber bundle と 呼 ぶべき ものである 。 基 本 的 に , equivariant でない bundle の 理論 と 平 行 に 議 論 できる 。 例 えば , principal bundle の 分 類 定 理 が 成 り 立 つ 。 tom Dieck [ tD69 ] や Lashof [ Las82 ] が 調 べている 。 Lück と Uribe の [ LU14 ] に 挙 げられているものでは , 他 に Hambleton と Hausmann の [ HH03 ] , Lashof や May らの [ LMS83 ,  LM86 ,  May90 ] , Murayama と Shimakawa の [ MS95 ] , tom Dieck の [ tD87 ] が 挙 げられてい る 。 Lück と Uribe は , それらの 一 般 化 を 定 義 し , その 分 類 定 理 を 証 明 して いる 。

• equivariant fiber bundle
• equivariant principal bundle の 分 類 定 理

非 可 換幾 何 学 の 視 点 から quantum principal bundle などの 非 可 換 フ ァ イバ ー 束 も 色 々 考 えられている 。

• fibration や fiber bundle の 非 可 換 版

安 定 ホモトピ ー 論 では , spectrum を fiber とする ( 位 相 空 間 上 の ) bundle も 考 えられ ている 。 parametrized spectrum の 一 種 として 定 義 される 。

• spectrum bundle

Ralph Cohen と Jones の [ CJ ] では , [ ABG ⁺ ,  Lin16 ] などが 参 照 されて いる 。

References