Steenrod
の
本
[
Ste51
]
は
古
い
本
ではあるが
,
今
だに
フ
ァ
イバ
ー
束
については
最
も
有名
な
本
である
。
私自
身
も
学
生
のときは
,
この
本
で
フ
ァ
イバ
ー
束
について
学
んだ
。
Steenrod
は
フ
ァ
イバ
ー
束
を
可
微分
多
様
体
の
微分
構
造
とよく
似
た
複
雑
な
デ
ー
タ
の
集
まり
として
定
義
した
。
その
定
義
は
,
微分
幾
何
や
数
理
物
理
には
適
しているかもし
れないが
,
代
数
的
トポロジ
ー
にと
っ
ては
余
分
な
情
報
が
多
く
含
まれたもので
ある
。
Husemoller
の
本
[
Hus94
]
の
方
がより
トポロジ
ー
的
かつ
現
代
的
で
読
み
易
い
。
フ
ァ
イバ
ー
束
を
理
解
するには
,
まずは
,
以下
の
定
義
と
事実
を
上
の
二
つの
本
から
探
し
出
すことから
始
めると
効
率
的
だろう
。
その
前
に
被覆
空
間
に
慣
れ
親
しんでおいた
方
がいいか
もしれないが
。
-
フ
ァ
イバ
ー
束
( fiber bundle)
の
定
義
-
座
標変
換
(coordinate transformation)
あるいは
transition function
の
定
義
-
構
造
群
(structure group)
の
定
義
-
主
束
(principal bundle)
の
定
義
-
切
断
(cross section
または
section)
の
定
義
-
切
断
を
持
つ
主
束
は
自
明
である
-
主
束
に
同伴
(associate)
した
フ
ァ
イバ
ー
束
の
定
義
主
G
束
は
,
局
所
自
明
化
を
用
いずに
群
の
作
用
のみを
用
いて
定
義
することができ
る
。
これについては
, Baum, Hajac, Matthes, Szymanski
の
[
BHMS
]
を
見
るとよい
。
このような
,
群
作
用
のみで
定
義
された
主
G
束
は
G
-torsor
と
呼
ば
れる
。
もちろん
,
局
所
自
明
化
も
有用
である
。
構
造
群
G
を
持
つ
fiber bundle
の
局
所
自
明
化
が
与
えられると
,
座
標変
換
が
決
まる
。
{
g
αβ
}
α,β
∈
A
が
Čech 1-cocycle
になることはすぐ
分
かる
。
逆
に
Čech 1-cocycle
が
与
えられると
,
それを
座
標変
換
の
デ
ー
タ
とする
フ
ァ
イバ
ー
束
を
再
構
成
できる
。
この
対
応
は
様
々
な
幾
何
学
的
応
用
で
重
要
である
。
例
えば
gerbe
など
。
-
主
G
束
p
:
E
-→
B
の
座
標変
換
の
デ
ー
タ
と
G
に
値
を
持
つ
Čech 1-cocycle
の
間
の
対
応
二
つの
フ
ァ
イバ
ー
束
を
比
較
するときには
,
その
間
の
写
像
を
考
える
必
要
が
ある
。
この
意
味
で
,
BG
は
主
G
束
の
同
型
類
を
分
類
するので
,
G
の
分
類
空
間
と
呼
ばれる
。
Steenrod
による
BG
の
構
成
(
[
Ste51
]
)
は
,
その
後
様
々
に
一
般
化
,
そして
精
密
化
されてい
る
。
詳
しくは
分
類
空
間
の
ペ
ー
ジ
を
参
照
のこと
。
上
の
パラコンパクト
Hausdorff
という
条
件
はもう
少
し
弱
くすることができ
る
。
例
えば
, Dold
の
[
Dol63
]
など
。
Wirth
と
Stasheff
の
[
WS06
]
も
見
ると
よい
。
フ
ァ
イバ
ー
束
のような
複
雑
な
デ
ー
タ
を
扱
う
際
には
,
具
体
例
をいくつか
知
っ
ていると
よい
。
-
Möbius
の
帯
と
Klein
の
壷
は
S
1
上
の
フ
ァ
イバ
ー
束
-
Hopf
束
最後
のものを
除
いてこれらは
主
束
である
。
これらの
写
像
は
Hopf map
と
呼
ばれ
,
球
面
の
ホモトピ
ー
群
で
最
も
基
本
的
な
元
である
。
-
多
くの
場
合
,
位
相
群
のその
部分
群
による
商
群
への
射
影
は
主
H
束
になる
。
より
一
般
に
,
位
相
空
間
X
への
位
相
群
G
の
作
用
が
与
えられているとき
,
射
影
が
主
G
束
になるのはどんな
場
合
だろう
?
これについては
, Baum, Hajac, Matthes, Szymanski
の
[
BHMS
]
の
1,
特
に
1.5
が
詳
しい
。
-
Lie
群
G
が
completely regular space
X
に
free
に
作
用
するなら
, projection
X
→
X∕G
は
principal
G
-bundle
になる
。
[
Pal61
]
M. Davis
は
,
[
Dav78
]
において
,
X
が
滑
らかな
多
様
体
で
G
が
compact
Lie
群
の
場
合
に
射
影
が
“stratified fiber bundle”,
つまり
適
当
に
分
割
す
(
stratification
を
入
れ
)
れば
,
そ
れぞれの
stratum
上
で
フ
ァ
イバ
ー
束
になることを
示
している
。
ベクトル
束
も
重
要
な
フ
ァ
イバ
ー
束
の
一
種
である
。
可
微分
多
様
体
ではないも
のに
対
しても
tangent bundle
の
類
似
を
定
義
するために
, Milnor
[
Mil64
]
は
microbundle
という
概
念
を
定
義
した
。
また
,
高
次
の
bundle
として
gerbe
などが
ある
。
フ
ァ
イバ
ー
束
は
,
微分
幾
何
で
主
要
な
道
具
として
使
われてきた
。
古
典的
な
接続
や
曲
率
と
い
っ
た
概
念
は
フ
ァ
イバ
ー
束
の
言
葉
で
定
義
し
直
されている
。
-
可
微分
フ
ァ
イバ
ー
束
(smooth fiber bundle)
の
定
義
-
可
微分
フ
ァ
イバ
ー
束
を
用
いた
接続
と
曲
率
の
定
義
-
可
微分
フ
ァ
イバ
ー
束
に
対
する
Becker-Gottlieb transfer
構
造
群
以
外
の
群
の
作
用
を
考
えることもできる
。
Equivariant
fiber bundle
と
呼
ぶべき
ものである
。
基
本
的
に
, equivariant
でない
bundle
の
理論
と
平
行
に
議
論
できる
。
例
えば
, principal bundle
の
分
類
定
理
が
成
り
立
つ
。
tom Dieck
[
tD69
]
や
Lashof
[
Las82
]
が
調
べている
。
Lück
と
Uribe
の
[
LU14
]
に
挙
げられているものでは
,
他
に
Hambleton
と
Hausmann
の
[
HH03
]
, Lashof
や
May
らの
[
LMS83
,
LM86
,
May90
]
, Murayama
と
Shimakawa
の
[
MS95
]
, tom Dieck
の
[
tD87
]
が
挙
げられてい
る
。
Lück
と
Uribe
は
,
それらの
一
般
化
を
定
義
し
,
その
分
類
定
理
を
証
明
して
いる
。
-
equivariant fiber bundle
-
equivariant principal bundle
の
分
類
定
理
非
可
換幾
何
学
の
視
点
から
quantum principal bundle
などの
非
可
換
フ
ァ
イバ
ー
束
も
色
々
考
えられている
。
安
定
ホモトピ
ー
論
では
,
spectrum
を
fiber
とする
(
位
相
空
間
上
の
) bundle
も
考
えられ
ている
。
parametrized spectrum
の
一
種
として
定
義
される
。
Ralph Cohen
と
Jones
の
[
CJ
]
では
,
[
ABG
+
,
Lin16
]
などが
参
照
されて
いる
。
References
[ABG
+
]
Matthew Ando, Andrew J. Blumberg,
David J. Gepner, Michael J. Hopkins,
and Charles Rezk. Units of ring spectra and Thom
spectra,
arXiv:0810.4535
.
[BHMS]
Paul F. Baum, Piotr M. Hajac, Rainer
Matthes, and Wojciech Szymanski. Noncommutative
Geometry Approach to Principal and Associated
Bundles,
arXiv:math/0701033
.
[CJ]
Ralph L. Cohen and John D. S Jones.
Homotopy automorphisms of
R
-module bundles, and the
K
-theory of string topology,
arXiv:1310.4797
.
[Dav78]
Michael Davis. Smooth
G
-manifolds as collections of fiber bundles.
Pacific J. Math.
, 77(2):315–363, 1978,
http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102806454
.
[Dol63]
Albrecht Dold. Partitions of unity in the theory of
fibrations.
Ann.
of Math. (2)
, 78:223–255, 1963.
[HH03]
Ian Hambleton and Jean-Claude Hausmann. Equivariant
principal bundles over spheres and cohomogeneity one
manifolds.
Proc. London
Math. Soc. (3)
, 86(1):250–272, 2003,
http://dx.doi.org/10.1112/S0024611502013722
.
[Hus94]
Dale Husemoller.
Fibre bundles
, volume 20 of
Graduate Texts in
Mathematics
. Springer-Verlag, New York, 1994.
[Las82]
R. K. Lashof. Equivariant bundles.
Illinois J. Math.
, 26(2):257–271, 1982.
[Lin16]
John Lind. Bundles of spectra and algebraic
K-theory.
Pacific J.
Math.
, 285(2):427–452, 2016,
arXiv:1304.5676
.
[LM86]
R. K. Lashof and J. P. May.
Generalized equivariant bundles.
Bull. Soc. Math. Belg. S
ér. A
, 38:265–271 (1987), 1986.
[LMS83]
R. K. Lashof, J. P. May, and
G. B. Segal. Equivariant bundles with abelian
structural group. In
Proceedings of the Northwestern
Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982)
, volume 19 of
Contemp. Math.
, pages 167–176, Providence, RI, 1983. Amer.
Math. Soc.,
http://dx.doi.org/10.1090/conm/019/711050
.
[LU14]
Wolfgang Lück and Bernardo Uribe. Equivariant
principal bundles and their classifying spaces.
Algebr. Geom. Topol.
, 14(4):1925–1995, 2014,
arXiv:1304.4862
.
[May90]
J. P. May. Some remarks on equivariant
bundles and classifying spaces.
Ast
érisque
, (191):7, 239–253, 1990. International
Conference on Homotopy Theory (Marseille-Luminy,
1988).
[Mil64]
J. Milnor. Microbundles. I.
Topology
, 3(suppl. 1):53–80, 1964.
[MS95]
Mitutaka Murayama and Kazuhisa Shimakawa. Universal
equivariant bundles.
Proc. Amer. Math. Soc.
, 123(4):1289–1295, 1995,
http://dx.doi.org/10.2307/2160733
.
[Pal61]
Richard S. Palais. On the existence of slices
for actions of non-compact Lie groups.
Ann. of Math. (2)
, 73:295–323, 1961.
[Ste51]
Norman Steenrod.
The Topology of Fibre Bundles
. Princeton Mathematical Series, vol. 14. Princeton
University Press, Princeton, N. J., 1951.
[tD69]
Tammo tom Dieck. Faserbündel mit
Gruppenoperation.
Arch.
Math. (Basel)
, 20:136–143, 1969.
[tD87]
Tammo tom Dieck.
Transformation groups
, volume 8 of
de
Gruyter Studies in Mathematics
. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1987,
http://dx.doi.org/10.1515/9783110858372.312
.
[WS06]
James Wirth and Jim Stasheff. Homotopy transition
cocycles.
J.
Homotopy Relat. Struct.
, 1(1):273–283, 2006,
arXiv:math/0609220
.