Categorification

21 世 紀 にな っ て “categorification” という 言 葉 がよく 聞 かれるようにな っ た 。 90 年 代 半 ばに Crane が 考 えた [ Cra95 ,  CF94 ] 概 念 らしい 。 有名 にな っ たの は Khovanov による Jones polynomial の categorification の 発 見 からだろ うか 。

しかしながら , categorification という 言 葉 は 使 わなくても 同 じような アイデア は 古 くから 使 われている 。 例 えば , Propp の [ Pro ] に 収 録 されている 最 初 の 論 文 は

と いう 一 文 で 始 ま っ ている 。 Zeilberger [ Zei ] は , 自 然 数 の 間 の 等 式 や 不 等 式 を 有 限 集 合 の 間 の 全 単 射 や 単 射 を 構 成 することに っ て 証 明 することを combinatorialization と 呼 んでい るが , このように 組 み 合 せ 論 では , 自 然 数 を 有 限 集 合 で 置 き 換 えることは , 古 くから 考 え られてきた 。 これも 立 派 な categorification である 。

一 般 に categorification についての 解 説 として [ BD98 ] があるので , まずはこれを 読 んでみるといいだろう 。 他 には [ CY98 ] や [ Ion ] , そして [ BD01 ] も 見 ると よい 。

• categorification の 例
• categorification に 関 連 した 概 念

References