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Categorification の例

Categorification というのは , として されたものではない , における とした する である するためには , たくさんの みるしかない

トポロジ した categorification としては , ホモロジ Betti categorification であるというのが りやすいかもしれない , , とい じで えた にな ている ある

なのは , categorification としての である

  • category categorification である Decategorification cardinality function である

研究 であり , この づいた くから われてきたようである えば Schanuel [ Sch91 ] には

Set ----- ?
  |       |
  |       |

 ℕ ------ ℤ

という がある この にするような とは かというのがこの である この Propp [ Pro ] では , Euclid らない がその である Decategorification Euler であ については Baez Dolan [ BD01 ] でも しく われ ている らは ホモトピ group completion 使 うことを して いる

  • のもう つの categorification ベクトル category である Decategorification dimension function である
  • 生成 ベル categorification になる Decategorification rank function である

この , categorification として , derived category D ( Vect ∕k ) えると よい , したのは Khovanov なのだろうか ? Grothendieck group decategorification にな ている

Khovanov らは めとして , categorification をは Grothendieck group いて えている , より algebraic K -theory るという アイデア もある

, ではないがそれに いものとして [ √ - 1 ] categorification Tian [ Tia16 ] により monoidal dg category として されている Khovanov Tian [ KT ] , [ 1
2 ] categorification している その 最後 では , [ 1
n ] categorification についても げている これらは , Grothendieck group よる categorification である

Grothendieck group による categorification いが , Grothendieck group にしないものとして , Elias Hogancamp [ EH ] されている categorification がある

にも , ( 非負 整数 ) categorification ある えば , crossed simplicial group には object 1 1 する associate する にも , Chaptea Habiro Massuyeau [ CHM08 ] れる functorial LMO invariant などがある

categorification, ではないが , それに いものを えようというのが , Diaz Blandin [ BD08 ] である それは , finite groupoid Euler として きるということに づいている Joyal species という とも して いる

それを いて , らは [ BD07 ] hypergeometric function combinatorial interpretation について べている

Rational quantum number categorification , I. Frenkel Stroppel Sussan [ FSS12 ] えられている

monoid categorification monoidal category であるが , (monoid) コホモロ (cochain cocycle) categorify する Ionescu monoidal category cohomology している その , parity quasicomplex 導入 ている

categorification として functor えるのは である より , n -category n -functor , それを categorify する ( n + 1)-category ( n + 1)-functor つけるというのも , categorification である

  • Betti から への であるが , その categorification である ホモロジ である

, のような がある

categorification としては , のような もある これは categorification であることの である

  • formal power series rig categorification Joyal [ Joy81 ] structure type

Fock space 1 formal power series ring にある れたも のである その Weyl algebra categorification えるために , Morton [ Mor06 ] structure type えた そしてその として stuff type いう している Morton categorification ているようである これらは , groupoidification として えるとよいようで ある

Jones polynomial した として braid , そして Yang-Baxter ある

  • Rouquier による braid への categorification [ Rou ]
  • Khovanov Seidel による braid Burau representation categorification [ KS02 ]
  • category categorification としての bicategory [ Bak ]

Khovanov homology やその なる categorification えるときには , cobordism 2-category から triangulated category 2-category への 2-functor えるべき , するのは , Gukov [ Guk ] である その triangulated category への braid もあらわれ , アイデア える

Baez [ Bae97 ] によると , Gel’fand-Naimark duality categorification Doplicher-Roberts reconstruction theorem であることに がついたのは Dolan しい

Diaz Pariguan [ DP09 ] quantum field theory となるべき categorification みている その には Feynman integral Kontsevich star product などがある

では , string categorification である , える もい Urs Schreiber 379 もある Ph.D. thesis [ Sch ] している Schreiber John Baez らとともに n -Category Café という group blog いて いる その では categorification アイデア されていて えば , この post では , symplectic とそれに associate した Lie algebra categorification について されて いる

Symplectic Mirror symmetry では , real analytic manifold constructible complex of sheaves triangulated category cotangent bundle Fukaya category むという , Nadler Zaslow [ NZ09 ] がある これは Kashiwara characteristic cycle categorification とみなすことができる , しい

Davydov [ Dav07 ] non-associative algebra して される nucleus という non-associative monoidal category categorify している

Beliakova [ BHLvZ17 BGHL14 ] , linear category 0 Hochschild-Mitchell homology ( trace んでいる ) decategorification として いることを ている そのような decategorification trace decategorification んでいる その trace categorification ぶのだろう

  • trace (de)categorification

Grothendieck group による categorification とは “Chern character” により しているらしい Beliakova Habiro Lauda Webster [ BHLW17 ] Caldararu Willerton [ CW10 ] Guliyev との [ BGHL14 ] して いる

Chern character categorification, あるいは functorification Toën Vezzosi [ TV09 TV15 ] 導入 されている Hoyois Scherotzke Sibilla [ HSS17 ] , その している

そのための , Hochschild homology categorification , Ben-Zvi, Francis, Nadler [ BZFN10 ] により 導入 されたものである

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