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圏と関手の基本

については , 有名 なのは Mac Lane [ ML98 ] である この ではなく として 使 うものだと うが にも , として のことがまとめてある ホモロジ など D. Spivak らの [ SWB ] では , けの として Lawvere Schanuel [ LS09 ] Awodey [ Awo10 ] げられている Spivak のための [ Spi14 ] いている ( version のための として arXiv [ Spi ] から ) のものでは , Leinster [ Lei14 ] がある arXiv から download できるようにな たのは しい Riehl [ Rie16 ] よい

をこれらの んでから , Riehl [ Rie14 ] とよい この では enriched category , homotopy (co)limit , model category , quasicategory などが われていて , ホモトピ のための としてよくまとま ている

全体 などを として うときの するために Grothendieck らは [ SGA72 ] universe いたが , universe いた category theory につ いては Kashiwara Schapira [ KS06 ] がある のための につい ては Shulman [ Shu ] もある

まずは , Mac Lane 以下 のことを 調 べておくとよい

これらの , natural transformation , Eilenberg Mac Lane により [ EM42 ] 導入 されたようである としては , [ EM45 ] 有名 だと うが

ただし , small category えることができるの , quiver とした ておくとよい

  • quiver
  • small category quiver したもの
  • object S である small category , vertex S である quiver monoidal category での monoid object

全体 になるので , isomorphism えることができる しかしながら , 全体 2-category になるので , つの としては , isomorphism より equivalence えた である

などの autoequivalence については , Freyd [ Fre64 ] 28 あたりからの exercise いてある

  • , , autoequivalence には なものしかない
  • small category autoequivalence 2 である

これらの , “generator” となる object するものであり , Morita equivalence 使 われる アイデア とも するものである

生成 triangulated category model category になる なので , テクニ えられている でも , locally presentable accessible などの えられている これについては , Adamek Rosicky [ AR94 ] がある

については , かをいちいちことわるのは である それ , ての であるとし , opposite category からの するのが である

としては , natural transformation えられるものの , Kan [ Kan58 ] により 導入 された adjoint という である

Adjoint functor いものとして limit colimit がある そしてそれ らと いのが Kan extension である

Kan extension については , Mac Lane [ ML98 ] Kashiwara Schapira [ KS06 ] るとよいだろう

Object morphism しては , 以下 がある

, がどういうものかを かめておくとよい をつけなければ ならないのは , などのように object れた では , された monomorphism epimorphism としての しないかもしれないことである これについては G.A. Reid [ Rei70 ] がある Hopf algebra については , Chirvasitu [ Chi10 ] ある

Muro [ Mur16 ] § 2 には , pushout いた けがある もちろん , けもある Model category では , homotopy epimorphism homotopy monomorphism けに できる Homotopy epimorphism Muro , homotopy monomorphism Toën [ Toë07 ] ある

への epimorphism isomorphism になる object Hopfian object という 双対 への monomorphism isomorphism になる object co-Hopfian object という Varadarajan [ Var92 ] などで 調 べて いる

  • Hopfian object
  • co-Hopfian object

では , morphism できるが , でも morphism つの morphism (functorial ) することは である のような factorization system という えば , model category などで 使 われる

から たな もいろいろある

ある morphism Mor( C ) モデル である

については という 有名 事実 がある

べると になり しがよくなる

  • (sum) (product) より colimit limit

をしようとすると , small category とする えることになる これだけでなく , トポロジ なう small category Object X である small category , Day Street [ DS04 ] にあるように , X × X monoid object とみなすのが きりしていてよい

Topological category , morphism 全体 object 全体 , structure map にな ているものである

“morphism がある category object であるものを えること もできる モデル うときには simplicial category がよく する ホモロジ では linear category dg category などが 使 われる n -category などもその ある

するときにも より するためには triple (monad) cotriple (comonad), そして operad など である そして operad , multicategory という object 1 つの である にも での えられて いる

以下 のような がある

のような なものを しようとするときには , なるべく くの えるとよい ( きな ) としてはまずは 以下 のものが ろう

  • ベル
  • chain complex chain map

Small category ( とみなせるもの ) としては 以下 のものがある

References

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