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Chain complex の基本的性質

ホモロジ には , (co)chain complex つまり ホモロジ なる ( ) ホモロジ でも スペクトル などにより , には (co)chain complex される

ホモロジ され , ぶのに である トポロジ いたものもあるし , への 念頭 いたものもある とりあえず 図書 たり てみるのがよいだろう 有名 なものは Cartan Eilenberg [ CE99 ] , Mac Lane [ ML95 ] , そして のでは Gel fand Manin [ GM03 ] Weibel [ Wei94 ] などだろうか Springer GTM シリ には Osborne [ Osb00 ] Hilton Stammbach [ HS97 ] とい もある もちろん , にも なことは いてある えば Jacobson [ Jac85 Jac89 ] など

Chain complex ホモロジ spectral sequence についていくものである ただし , のことを えると chain complex category として しておくのがよいと

まずは , chain complex であるが , その だと うとよ ホモロジ chain complex がどれだけ いかを るもので ある

  • chain complex とその ホモロジ

ホモロジ では chain complex とは (bounded) differential graded Abelian group として されているだろう R differential graded module のことをいう ホモロジ では , Abelian category での differential graded object ことである

Chain complex cochain complex いはない { C n ,∂ n } chain complex ならば

 n
Cn  =   C-n
δ   =   ∂-n : C -n - → C- n-1
とおけば , { C n n } cochain complex になる

Chain complex category morphism chain map ばれる

  • chain map
  • chain map から ホモロジ されること

Chain complex category には ホモトピ される

  • つの chain map chain homotopy
  • つの chain map chain homotopic ならば , ホモロジ した する

ホモトピ があると ホモトピ での できる たとえば deformation retraction など Sköldberg [ Skö ] では contraction ばれ ている

  • chain complex subcomplex への contraction

この Sköldberg , Brown [ Bro65 ] Gugenheim [ Gug72 ] による contraction perturbation lemma から discrete Morse theory けることを している Discrete Morse theory では matching ただし , free module から chain complex され るが

  • (free module から ) chain complex acyclic partial matching

Chain complex category Abelian category, exact category なる

  • chain complex
  • chain complex から ホモロジ ができること

換環 chain complex category symmetric monoidal category なる

  • chain complex tensor product

ただし , tensor product るときの sign convention には である chain complex なうと , これらについては , Math Overflow での Tyler Lawson とその るとよい そこから link られて いる Tyler Lawson note りやすい

Chain complex monoidal category , ができることに がつい たのが , Pareigis [ Par81 ] である その comodule category chain complex monoidal category になる Hopf algebra して いる

Monoidal category があると , monoid object えたくなるが , chain complex category monoid object differential graded algebra (DGA または dg algebra) ばれる

つの chain complex tensor product double chain complex とみなす こともできる Muro Roitzheim [ MR ] では bicomplex ばれてい るが

  • double chain complex あるいは bicomplex C * , * とその total chain complex Tot( C * , * )

Double complex した multicomplex という もある [ Hue04 ] によると homological perturbation theory らしい

Muro Roitzheim [ MR ] では , bigraded であるが , 微分 めの twisted complex というものが えられている Derived A -algebra underlying structure として れる , らしい

  • twisted complex

には , ホモロジ とは chain complex モデル での ホモトピ あると てもいいだろう , unbounded chain complex うときには , モデル いるのがよい Spaltenstein [ Spa88 ] にある K -projective K -injective いれば unbounded chain complex でも ホモロジ なうことが できるが , Hinich [ Hin97 ] しているように , モデル 使 がより だろう

Chain complex モデル からは derived category られる

Chain complex モデル については Hovey [ Hov99 ] しく いてあ , Quillen つけたものであるが

Chain complex d 2 = 0 という もいるようであ Kapranov [ Kap ] d N = 0 をみたす 1 d をもつ N -complex んでいる

この みで differential graded algebra えられている Angel Diaz [ AD07 ACD07 ] によると 微分 への があるらしい Khovanov [ Kho16 KQ15 ] categorification のために p d p = 0 という 微分 differential graded algebra えている ホモロジ ( ホモ トピ ) 研究 かもしれない

Double complex spectral sequence わせたような multicomplex というもの もある

  • multicomplex

その spectral sequence との いについては , Hurtubise [ Hur10 ] 調 べられてい その motivation Morse-Bott homology にあるようである Hurtubise のものは bigraded だが , Dotsenko Shadrin Vallette [ DSV15 ] では singly graded multicomplex 使 われている

Dwyer Kan [ DK85 DK87 ] Connes cyclic category self-dual であること , chain complex cochain complex つものを duchain complex として 調 べている Krähmer Madden [ KM ] によると , 現在 では Kassel [ Kas87 ] による mixed complex なようで ある

  • mixed complex

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