Your language?
Nov, 2017
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30

Chromatic 現象を調べるための基本的な概念と道具

ホモトピ における chromatic filtration するため として , 典的 には 以下 のものが 使 われてきた

, Ravenel [ Rav03 ] , Wilson Sampler [ Wil82 ] , Johnson Wilson [ JW75 ] などだろうか とりあえずは , Ravenel ればよ いと Morava K -theory については , Würgler [ Wür91 ] もある BP n については , Angeltveit Lind [ AL17 ] , mod p cohomology Steenrod algebra module としての により けられることを して いる

もちろん , した ( ) ホモロジ されている Baker K ( n ) E ( n ) める E ( n )-module spectrum [ Bak91 ] している その をしているのが , Wüthrich [ Wüt08 ] であ K ( n ) S -algebra については Angeltveit [ Ang11 ] 調 べて いる

v 1 -periodic 部分 , より K -theory Im J などで 調 べられてき v 2 -periodic 部分 について , コホモロジ がどれだけ かは

v n めた をするためには , E ( n ) する L n ( - ) Chromatic convergence theorem により , L n X n して めれば finite spectrum X できるし , さらには K ( n ) する れる

  • E ( n ) する L n ( - )
  • K ( n ) する L K ( n ) ( - )

n = 1 Bousfield [ Bou79 Bou85 ] Ravenel [ Rav84 ] により 調 べられてい sphere spectrum localization とその ホモトピ てい n = 2 のとき , ホモトピ [ SY95 SW02 ] により されて いる アプロ つけ , p = 3 , その およ 再構 しようというのが Mahowald らの [ GHMR05 HKM13 ] ある

v n -periodic 部分 v n +1 -periodic 部分 づけるために , algebraic K -theory 使 えると しているのは , Rognes である

調 べる finite spectrum であるが , それに 以下 がある

Goerss Mahowald らが [ GHMR05 ] いているように , Hopkins , stable homotopy theory, chromatic する 研究 , formal group law moduli stack 研究 きが かれるようにな てきた その quasi-coherent sheaf 調 べるなど , , そして などが して いる Rognes [ Rog ] Introduction かりやすい Smithling thesis [ Smi11 ] みるとよい

  • Honda formal group law
  • Morava stabilizer group 𝕊 n
  • Lubin-Tate spectrum あるは Morava E -theory E n
  • Hopkins-Miller theorem [ Rez98 ] とその Goerss-Hopkins [ GH04 ] による

E n については , この Math Overflow する Tyler Lawson えが になる

Lawson [ Law10 ] Zink display [ Zin02 ] 使 うことを えている

Hopkins-Miller-Goerss theorem により , E n E -ring spectrum として でき , Morava stabilizer group 𝕊 n する Behrens Hopkins [ BH11 ] , 𝕊 n maximal subgroup G homotopy fixed point EO n = E n hG higher real K -theory んでいる 𝕊 n maximal subgroup Hewett [ Hew95 ] により され ているらしい , EO n topological automorphic form との 調 べて いる

G n = 𝕊 n Gal( 𝔽 p n 𝔽 p ) による homotopy fixed point spectrum K ( n )-localization わすのにも 使 える Devinatz Hopkins [ DH04 ] Davis [ Dav06 BD10 DT12 ] など

References

[AL17]     Vigleik Angeltveit and John A. Lind. Uniqueness of BP n . J. Homotopy Relat. Struct. , 12(1):17–30, 2017, arXiv:1501.01448 .

[Ang11]     Vigleik Angeltveit. Uniqueness of Morava K -theory. Compos. Math. , 147(2):633–648, 2011, arXiv:0810.5032 .

[Bak91]     Andrew Baker. A structures on some spectra related to Morava K -theories. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) , 42(168):403–419, 1991, http://dx.doi.org/10.1093/qmath/42.1.403 .

[BD10]     Mark Behrens and Daniel G. Davis. The homotopy fixed point spectra of profinite Galois extensions. Trans. Amer. Math. Soc. , 362(9):4983–5042, 2010, arXiv:0808.1092 .

[BH11]     M. Behrens and M. J. Hopkins. Higher real K -theories and topological automorphic forms. J. Topol. , 4(1):39–72, 2011, arXiv:0910.0617 .

[Bou79]     A. K. Bousfield. The localization of spectra with respect to homology. Topology , 18(4):257–281, 1979, http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(79)90018-1 .

[Bou85]     A. K. Bousfield. On the homotopy theory of K -local spectra at an odd prime. Amer. J. Math. , 107(4):895–932, 1985, http://dx.doi.org/10.2307/2374361 .

[Dav06]     Daniel G. Davis. Homotopy fixed points for L K ( n ) ( E n X ) using the continuous action. J. Pure Appl. Algebra , 206(3):322–354, 2006, arXiv:math/0501474 .

[DH04]     Ethan S. Devinatz and Michael J. Hopkins. Homotopy fixed point spectra for closed subgroups of the Morava stabilizer groups. Topology , 43(1):1–47, 2004, http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00029-6 .

[DT12]     Daniel G. Davis and Takeshi Torii. Every K ( n )-local spectrum is the homotopy fixed points of its Morava module. Proc. Amer. Math. Soc. , 140(3):1097–1103, 2012, arXiv:1101.5201 .

[GH04]     P. G. Goerss and M. J. Hopkins. Moduli spaces of commutative ring spectra. In Structured ring spectra , volume 315 of London Math. Soc. Lecture Note Ser. , pages 151–200. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004, http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511529955.009 .

[GHMR05]     P. Goerss, H.-W. Henn, M. Mahowald, and C. Rezk. A resolution of the K (2)-local sphere at the prime 3. Ann. of Math. (2) , 162(2):777–822, 2005, arXiv:0706.2175 .

[Hew95]     Thomas Hewett. Finite subgroups of division algebras over local fields. J. Algebra , 173(3):518–548, 1995, http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1995.1101 .

[HKM13]     Hans-Werner Henn, Nasko Karamanov, and Mark Mahowald. The homotopy of the K (2)-local Moore spectrum at the prime 3 revisited. Math. Z. , 275(3-4):953–1004, 2013, arXiv:0811.0235 .

[JW75]     David Copeland Johnson and W. Stephen Wilson. BP operations and Morava’s extraordinary K -theories. Math. Z. , 144(1):55–75, 1975.

[Law10]     Tyler Lawson. Structured ring spectra and displays. Geom. Topol. , 14(2):1111–1127, 2010, arXiv:0912.5094 .

[Rav84]     Douglas C. Ravenel. Localization with respect to certain periodic homology theories. Amer. J. Math. , 106(2):351–414, 1984, http://dx.doi.org/10.2307/2374308 .

[Rav03]     Douglas C. Ravenel. Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres . Amer Mathematical Society, 2 edition, 11 2003.

[Rez98]     Charles Rezk. Notes on the Hopkins-Miller theorem. In Homotopy theory via algebraic geometry and group representations (Evanston, IL, 1997) , volume 220 of Contemp. Math. , pages 313–366. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, http://dx.doi.org/10.1090/conm/220/03107 .

[Rog]     John Rognes. Galois extensions of structured ring spectra, arXiv:math/0502183 .

[Smi11]     Brian D. Smithling. On the moduli stack of commutative, 1-parameter formal groups. J. Pure Appl. Algebra , 215(4):368–397, 2011, arXiv:0708.3326 .

[SW02]     Katsumi Shimomura and Xiangjun Wang. The homotopy groups π * ( L 2 S 0 ) at the prime 3. Topology , 41(6):1183–1198, 2002, http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00033-7 .

[SY95]     Katsumi Shimomura and Atsuko Yabe. The homotopy groups π * ( L 2 S 0 ). Topology , 34(2):261–289, 1995, http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(94)00032-G .

[Wil82]     W. Stephen Wilson. Brown-Peterson homology: an introduction and sampler , volume 48 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics . Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, D.C., 1982.

[Wür91]     Urs Würgler. Morava K -theories: a survey. In Algebraic topology Pozna ń 1989 , volume 1474 of Lecture Notes in Math. , pages 111–138. Springer, Berlin, 1991, http://dx.doi.org/10.1007/BFb0084741 .

[Wüt08]     Samuel Wüthrich. Infinitesimal thickenings of Morava K -theories. J. Pure Appl. Algebra , 212(1):99–121, 2008, arXiv:math/0607110 .

[Zin02]     Thomas Zink. The display of a formal p -divisible group. Ast érisque , (278):127–248, 2002. Cohomologies p -adiques et applications arithmétiques, I.