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Cobordism category

object とし , つの cobordism morphism とすると , できる このようなものを cobordism category という , cobordism smooth map 2-morphism えれば , 2-category (bicategory) になる Topological quantum field theory (TQFT) functorial formalism での として 使 れる

Grandis cobordism category のようなものを うための として cospan , そし てその [ Gra07b Gra07a Gra08 ] えている

なのは , 1 cobordism category である Object 1 , つまり S 1 限個 disjoint union であり , morphism いた (Riemann ) である

Cobordism category についての としては , Tillmann [ Til96 Til97 ] , そしてそ れを させた [ BCR06 ] がある

より には , Galatius Madsen Tillmann Weiss [ GTMW09 ] より , d cobordism category ホモトピ 調 べられている それによると , ある Thom spectrum にな ているら しい

  • Madsen-Tillmann spectrum

Galatius らの cobordism category Madsen-Tillmann spectrum 0 ホモトピ であることであるが , cobordism category して , として ホモト であることを すこともできる Hoang Kim Nguyen [ Ngu17 ] ある

Galatius, Madsen, Tillmann, Weiss 仕事 では cobordism category sheaf などの 使 われているが , それには もあるようである Madsen-Tillmann spectrum , Freed [ Fre ] 理論 使 うことが されて いる

きの open-closed cobordism category というものもある Hambury [ Han09 ] にその homotopy type についての がある その とし defect cobordism category というのもある これも TQFT るために Davydov, Kong, Runkel [ DKR11 ] 導入 された Carqueville lecture note [ Car ] もある

  • open-closed cobordism category
  • cobordism category with defect

Hopkins Lurie extended TQFT では , cobordism cobordism, そして にその cobordism ⋅⋅⋅ えた cobordism category いられている それらを , extended TQFT をその から ベクトル への functor えようというわけである そして としては , ホモトピ いた ( ,n )-category 使 うことを している そして , そのような ( ,n )-category とし ての cobordism category Calaque Scheimbaur [ CS ] により されて いる

ただし , 3 までなら higher category theory にはより 典的 アプロ があ , Schommer-Pries [ SP09 ] 2 extended cobordism category symmetric monoidal bicategory として している

Symplectic などの cobordism category , そしてその ホモトピ についても Ayala [ Aya09 ] 調 べて いる

Cobordism しては , くから えられてきた Cobordism category についても えられている Sadykov [ Sad ] , topological category として されている Perlmutter [ Perb Pera ] , Baas-Sullivan construction われる cobordism category , その ホモトピ Thom spectrum として して いる

Poincaré ホモロジ アイデア , には 部分 cobordism であ , それを する chain complex という 導入 されたことを えると , cobordism category chain version があ ても さそうである , Lerman Malkin [ LM08 ] えている

えられている Segovia [ Seg ] とそこに げられている るとよい

  • G -cobordism category

にも えられている

  • Gómez López [ Lop ] による PL
  • Raptis Steimle [ RS17 ] による parametrized
  • Raptis Steimle [ RSb ] による h -cobordism category
  • Ebert Randal-Williams [ ERW ] positive scalar curvature metric cobordism category えている
  • Steimle [ Ste ] によると , Poincaré chain complex やその cobordism category , Hebestreit Steimle preprint えられているらしい
  • Waldhausen category から cobordism category のようなものを ること Raptis Steimle [ RSa ] している できたものは , Waldhausen S -construction ホモトピ つようである


[Aya09]     David Ayala. Geometric cobordism categories . ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2009, arXiv:0811.2280 . Thesis (Ph.D.)–Stanford University.

[BCR06]     Nils A. Baas, Ralph L. Cohen, and Antonio Ramírez. The topology of the category of open and closed strings. In Recent developments in algebraic topology , volume 407 of Contemp. Math. , pages 11–26. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, arXiv:math/0411080 .

[Car]     Nils Carqueville. Lecture notes on 2-dimensional defect TQFT, arXiv:1607.05747 .

[CS]     Damien Calaque and Claudia Scheimbauer. A note on the ( ,n )-category of cobordisms, arXiv:1509.08906 .

[DKR11]     Alexei Davydov, Liang Kong, and Ingo Runkel. Field theories with defects and the centre functor. In Mathematical foundations of quantum field theory and perturbative string theory , volume 83 of Proc. Sympos. Pure Math. , pages 71–128. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, arXiv:1107.0495 .

[ERW]     Johannes Ebert and Oscar Randal-Williams. Infinite loop spaces and positive scalar curvature in the presence of a fundamental group, arXiv:1711.11363 .

[Fre]     Daniel S. Freed. Short-range entanglement and invertible field theories, arXiv:1406.7278 .

[Gra07a]     Marco Grandis. Collared cospans, cohomotopy and TQFT (cospans in algebraic topology. II). Theory Appl. Categ. , 18:No. 19, 602–630, 2007.

[Gra07b]     Marco Grandis. Higher cospans and weak cubical categories (cospans in algebraic topology. I). Theory Appl. Categ. , 18:No. 12, 321–347, 2007.

[Gra08]     Marco Grandis. Cubical cospans and higher cobordisms (cospans in algebraic topology. III). J. Homotopy Relat. Struct. , 3(1):273–308, 2008, arXiv:0806.2359 .

[GTMW09]     Søren Galatius, Ulrike Tillmann, Ib Madsen, and Michael Weiss. The homotopy type of the cobordism category. Acta Math. , 202(2):195–239, 2009, arXiv:math/0605249 .

[Han09]     Elizabeth Hanbury. An open-closed cobordism category with background space. Algebr. Geom. Topol. , 9(2):833–863, 2009, arXiv:0902.0705 .

[LM08]     Eugene Lerman and Anton Malkin. Differential characters as stacks and prequantization. J. G ökova Geom. Topol. GGT , 2:14–39, 2008, arXiv:0710.4340 .

[Lop]     Mauricio Gomez Lopez. The homotopy type of the PL cobordism category. I, arXiv:1608.06236 .

[Ngu17]     Hoang Kim Nguyen. On the infinite loop space structure of the cobordism category. Algebr. Geom. Topol. , 17(2):1021–1040, 2017, arXiv:1505.03490 .

[Pera]     Nathan Perlmutter. Cobordism Category of Manifolds With Baas-Sullivan Singularities, Part 2, arXiv:1306.4045 .

[Perb]     Nathan Perlmutter. Cobordism Category of Manifolds With Baas-Sullivan Singularities, Part I, arXiv:1212.6422 .

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[RS17]     George Raptis and Wolfgang Steimle. Parametrized cobordism categories and the Dwyer-Weiss-Williams index theorem. J. Topol. , 10(3):700–719, 2017, arXiv:1606.07925 .

[Sad]     Rustam Sadykov. Singular cobordism categories, arXiv:0804.1267 .

[Seg]     Carlos Segovia. The classifying space of the 1 + 1 dimensional G -cobordism category, arXiv:1211.2144 .

[SP09]     Christopher John Schommer-Pries. The classification of two-dimensional extended topological field theories . ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2009, arXiv:1112.1000 . Thesis (Ph.D.)–University of California, Berkeley.

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