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Configuration space のトポロジー

Configuration space とは , ある M いに なる n Conf n ( M ) M n 部分 としての れたものである くから F ( M,n ) という 使 われてきたが , F という する いので , ここでは Conf という 使

トポロジ では configuration space えば モデル への 有名 であるが , configuration space はそれ われる えば , たない など

, やはり Euclid いに なる configuration space ある

モデル するときに 使 われるのは , labaled configuration space である つまり X ラベル けされた configuration space あるが , には Conf n ( M ) × Σ n X n される

  • labeled configuration space

Palmer [ Pal13 MP15 ] , Conf n ( M ) × A n X n , oriented (labeled) configuration space んでいる

にも , 部分 して えているものとして , Kupers, Miller, Tran [ KMT16 ] がある v 1 + ⋅⋅⋅ + v m = n となる v = ( v 1 , ,v m ) いて Conf n ( M ) Σ v 1 × ⋅⋅⋅ × Σ v m えている

また , モデル では operad little cube , つまり になるように したもののなす , 便 である もちろん にも , さな disk きな disk れたものも られている

Configuration space トポロジ 研究 するためには , まずその ホモロジ りたい

2 configuration space pure braid , による braid である

ホモトピ についてどれぐらい ているかについては , Kupers Miller [ KM ] るとよい そこで いられているのは , FI-object co-FI-object であ FI から C への functor C での FI-object , contravariant functor co-FI-object というが , configuration space { Conf n ( M ) } n 0 , での co-FI-object, つまり co-FI-space とみなす ことができる これは configuration space への , らす せて えるということである このことは , FI-object 導入 した Church, Ellenberg, Farb [ CEF15 ] べられて いる

  • configuration space co-FI-object

, その ホモトピ co-FI- ベル , その コホモロジ FI-module になる この , configuration space コホモロジ 調 べるときに 有用 であり , Church, Ellenberg, Farb [ CEF15 ] かの いてい えば , Nagpal [ Nag ] Ellenberg Wiltshire-Gordon [ EWG ] など

不変 , 調 べられている えば , cofiguration space topological complexity , との , より には robot motion planning との れている

トポロジ からは , もちろん , ホモトピ のあるところで ある

Configuration space した として , k -regular embedding ある

metric えられているとき , しい になるの はどのような かという そうである これについては , Robert Brown James White [ BW81 ] 調 べられている

M configuration space Conf k ( M ) には , だけでなく M ( 微分 ) する Euclid , affine えられる それらの える もある Euclid , きを affine えているのが Suárez Serrato [ SS09 ] ある

微分 との では , C への 微分 によ Morse orbit との Maksymenko [ Mak08 ] 調 べている その configuration space のある covering space ホモトピ になるら しい

したものとしては , orbit configuration space という がある G X するとき , X n なるだ けでなく , G -orbit なるという をみたす めたもので ある

したものとしては orbifold がある Bailes Tran [ BT ] orbifold X , しい orbifold Conf n ( X ) , その rational homology stability について している ただし , そこで いられている orbifold topological groupoid として えた orbifold であり , その コホモジ topological groupoid としての コホモロジ である した orbifold configuration space , そのまま topological groupoid きる

  • topological groupoid configuration space

, した configuration space えることができる Campos, Idrissi, Lambrechts, Willwacher [ CILW ] 調 べられている

  • configuration space of manifold with boundary

configuration space には , にも いて , filtration することもできる えば , Berceanu Parveen [ BP12 ] , subspace るかにより filtration している filtration Euclid でも えられる Manfredini Settepanella [ MS14b MS14a ] Grassmann えている

もいろいろあるが , トポロジ いものとして algebraic cycle がある Lawson [ Law89 ] により 導入 された

では , Farb [ FWW ] , 0-cycle 導入 調 べている 微分 であるが

“particle” えれば configuration space 理論 われることは ろう えば , Berry Robbins [ BR97 ] はある から Σ n

           3              n
fn : Confn(ℝ ) -→ U(n)∕U(1)

する , という した この については , Atiyah など [ AS02 EN01 AB02 AS03 ] 調 べている まずは Atiyah lecture note [ Ati ] をまず んでみるのがよいと だけでなく , hyperbolic version Lie group version などついても いてある

その hyperbolic version ( § 1.5) では , 3 n から n , それら 1 になる , という てている Malkoun [ Mal16 ] , その 4 したと ている

した としては , Kontsevich Poisson manifold deformation quantization [ Kon03 ] 使 われていることにも すべきだろう そこでは hyperbolic metric configuration space compactification 使 われて いる

Configuration space Ionescu [ Ion ] 調 べている Configuration space わされるものとしては , Bott Cattaneo [ BC98 BC99 ] homology 3-sphere 不変 Bott Taubes [ BT94 ] knot cohomology などがある としては Volic [ Vol07 ] などが ある

Gauthier [ Gau ] Kontsevich integral えるために , chord decoration された configuration space えている

した configuration space としては , にも Bökstedt Romão [ BR ] Riemann divisor がある 部分 として されて いる

  • Riemann divisor

Configuration space universal cover モデル として Bridgeland による triangulated category stability condition [ Bri07 ] がある Richard Thomas による [ Tho06 ] Khovanov Seidel [ KS02 ] 調 べた derived category ( ) stability condition ( ) configuration space Conf j ( ) universal cover になるらしい

Bridgeland , Richard Thomas SU(2) 部分 して して えることを [ Bri09 ] ている それらの universal cover にな るという , Brav Hugh Thomas [ BT11 ] によ されたようで ある

には , にある のあるもの になる どのような しているかについては , Babson Gunnells Scott [ BGS02 ] Introduction るとよい

ばかりではなく , でも configuration space えられる 1 cell complex とみた グラフ configuration space , Ghrist らが づけて 調 べている

グラフ した としては , Eastwood Huggett [ EH07 ] による グラフ chromatic polynomial Euler として がある configuration space いて されている

f : M -→ N

があ たとき , “relative ” configuration space えることもできる

^Δk (f ) = Confk(M )∩(fk)-1(Δ)

Braun [ Bra08 ] では , k -tuples of multiple points ばれている

Configuration space 率論 からも 調 べられていることは , 率論 サマ 2014 いて また “configuration space” なども 調 べられているようである ただし , このときの configuration space , していないもので , Ran space のことのようである

References

[AB02]     Michael Atiyah and Roger Bielawski. Nahm’s equations, configuration spaces and flag manifolds. Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.) , 33(2):157–176, 2002, arXiv:math/0110112 .

[AS02]     Michael Atiyah and Paul Sutcliffe. The geometry of point particles. R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. , 458(2021):1089–1115, 2002, arXiv:hep-th/0105179 .

[AS03]     Michael Atiyah and Paul Sutcliffe. Polyhedra in physics, chemistry and geometry. Milan J. Math. , 71:33–58, 2003, arXiv:math-ph/0303071 .

[Ati]     Michael Atiyah. Edinburgh Lectures on Geometry, Analysis and Physics, arXiv:1009.4827 .

[BC98]     Raoul Bott and Alberto S. Cattaneo. Integral invariants of 3-manifolds. J. Differential Geom. , 48(1):91–133, 1998, http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214460608 .

[BC99]     Raoul Bott and Alberto S. Cattaneo. Integral invariants of 3-manifolds. II. J. Differential Geom. , 53(1):1–13, 1999, http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214425446 .

[BGS02]     Eric Babson, Paul E. Gunnells, and Richard Scott. A smooth space of tetrahedra. Adv. Math. , 165(2):285–312, 2002, arXiv:math/9910049 .

[BP12]     Barbu Berceanu and Saima Parveen. Braid groups in complex projective spaces. Adv. Geom. , 12(2):269–286, 2012, arXiv:1002.2291 .

[BR]     Marcel Bökstedt and Nuno M. Romão. Divisor braids, arXiv:1605.07921 .

[BR97]     M. V. Berry and J. M. Robbins. Indistinguishability for quantum particles: spin, statistics and the geometric phase. Proc. Roy. Soc. London Ser. A , 453(1963):1771–1790, 1997, http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1997.0096 .

[Bra08]     Gábor Braun. The cobordism class of the multiple points of immersions. Algebr. Geom. Topol. , 8(1):581–601, 2008, arXiv:math/0409574 .

[Bri07]     Tom Bridgeland. Stability conditions on triangulated categories. Ann. of Math. (2) , 166(2):317–345, 2007, arXiv:math/0212237 .

[Bri09]     Tom Bridgeland. Stability conditions and Kleinian singularities. Int. Math. Res. Not. IMRN , (21):4142–4157, 2009, arXiv:math/0508257 .

[BT]     Jeffrey Bailes and TriThang Tran. Homological stability for configuration spaces of orbifolds, arXiv:1602.04897 .

[BT94]     Raoul Bott and Clifford Taubes. On the self-linking of knots. J. Math. Phys. , 35(10):5247–5287, 1994, http://dx.doi.org/10.1063/1.530750 . Topology and physics.

[BT11]     Christopher Brav and Hugh Thomas. Braid groups and Kleinian singularities. Math. Ann. , 351(4):1005–1017, 2011, arXiv:0910.2521 .

[BW81]     Robert F. Brown and James H. White. Homology and Morse theory of third configuration spaces. Indiana Univ. Math. J. , 30(4):501–512, 1981, http://dx.doi.org/10.1512/iumj.1981.30.30041 .

[CEF15]     Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, and Benson Farb. FI-modules and stability for representations of symmetric groups. Duke Math. J. , 164(9):1833–1910, 2015, arXiv:1204.4533 .

[CILW]     Ricardo Campos, Najib Idrissi, Pascal Lambrechts, and Thomas Willwacher. Configuration Spaces of Manifolds with Boundary, arXiv:1802.00716 .

[EH07]     Michael Eastwood and Stephen Huggett. Euler characteristics and chromatic polynomials. European J. Combin. , 28(6):1553–1560, 2007, http://dx.doi.org/10.1016/j.ejc.2006.09.005 .

[EN01]     Michael Eastwood and Paul Norbury. A proof of Atiyah’s conjecture on configurations of four points in Euclidean three-space. Geom. Topol. , 5:885–893 (electronic), 2001, http://dx.doi.org/10.2140/gt.2001.5.885 .

[EWG]     Jordan S. Ellenberg and John D. Wiltshire-Gordon. Algebraic structures on cohomology of configuration spaces of manifolds with flows, arXiv:1508.02430 .

[FWW]     Benson Farb, Jesse Wolfson, and Melanie Matchett Wood. Coincidences of homological densities, predicted by arithmetic, arXiv:1611.04563 .

[Gau]     Renaud Gauthier. Relaxed Cech Cohomology, Emeralds over Topological Spaces and the Kontsevich Integral, arXiv:1205.5818 .

[Ion]     Lucian M. Ionescu. Perturbative Quantum Field Theory and Configuration Space Integrals, arXiv:hep-th/0307062 .

[KM]     Alexander Kupers and Jeremy Miller. Representation stability for homotopy groups of configuration spaces, arXiv:1410.2328 .

[KMT16]     Alexander Kupers, Jeremy Miller, and Trithang Tran. Homological stability for symmetric complements. Trans. Amer. Math. Soc. , 368(11):7745–7762, 2016, arXiv:1410.5497 .

[Kon03]     Maxim Kontsevich. Deformation quantization of Poisson manifolds. Lett. Math. Phys. , 66(3):157–216, 2003, arXiv:q-alg/9709040 .

[KS02]     Mikhail Khovanov and Paul Seidel. Quivers, Floer cohomology, and braid group actions. J. Amer. Math. Soc. , 15(1):203–271, 2002, arXiv:math/0006056 .

[Law89]     H. Blaine Lawson, Jr. Algebraic cycles and homotopy theory. Ann. of Math. (2) , 129(2):253–291, 1989.

[Mak08]     Sergiy Maksymenko. Homotopy dimension of orbits of Morse functions on surfaces. In Travaux math ématiques. Vol. XVIII , volume 18 of Trav. Math. , pages 39–44. Fac. Sci. Technol. Commun. Univ. Luxemb., Luxembourg, 2008, arXiv:0710.4437 .

[Mal16]     Joseph Malkoun. On the Atiyah problem on hyperbolic configurations of four points. Geom. Dedicata , 180:287–292, 2016, arXiv:1502.01364 .

[MP15]     Jeremy Miller and Martin Palmer. Scanning for oriented configuration spaces. Homology Homotopy Appl. , 17(1):35–66, 2015, arXiv:1306.6896 .

[MS14a]     Sandro Manfredini and Simona Settepanella. Braid groups in complex Grassmannians. Topology Appl. , 176:51–56, 2014, arXiv:1311.5643 .

[MS14b]     Sandro Manfredini and Simona Settepanella. On the configuration spaces of Grassmannian manifolds. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) , 23(2):353–359, 2014, arXiv:1311.5642 .

[Nag]     Rohit Nagpal. FI-modules and the cohomology of modular representations of symmetric groups, arXiv:1505.04294 .

[Pal13]     Martin Palmer. Homological stability for oriented configuration spaces. Trans. Amer. Math. Soc. , 365(7):3675–3711, 2013, arXiv:1106.4540 .

[SS09]     Pablo Suárez-Serrato. Affine configurations and pure braids. Discrete Comput. Geom. , 41(1):177–181, 2009, arXiv:math/0601476 .

[Tho06]     R. P. Thomas. Stability conditions and the braid group. Comm. Anal. Geom. , 14(1):135–161, 2006, arXiv:math/0212214 .

[Vol07]     Ismar Volić. A survey of Bott-Taubes integration. J. Knot Theory Ramifications , 16(1):1–42, 2007, arXiv:math/0502295 .