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連続写像とホモトピーに関する基本的な事柄

つの するときには , トポロジ では いる しばらく トポロジ にいると , にど ぷり てしまい ではない うことに じるようになる しかしながら , ではない えることもあるので , あまり るのもよくないかもしれ ない

ここでは , する トポロジ でよく 使 われるもの , そして したことをまとめておく

  • であること
  • つの
    f,g : X -→ Y

    f から g への ホモトピ (homotopy), および f g ホモトピ (homotopic) f g であることの

  • X から Y への 像全体 Map( X,Y ) であること
  • X から Y への ホモトピ [ X,Y ] ( ホモトピ )
  • つの homotopic であること
  • X から Y への ホモトピ [ X,Y ] *
  • ( X,A ) ( Y,B )
    f : (X, A) - → (Y,B)

    より n -ad

    f : (X; A1,⋅⋅⋅,An) -→ (Y;B1,⋅⋅⋅,Bn)

  • , より n -ad ホモトピ , そして ホモトピ

つの じである ということは , いて される なのは 以下 のものである

には , simple homotopy することではなく , より cell complex したり らませたりすることにより られる であるが , simple homotopy ならば ホモトピ なので , げた

Noncompact でのふるまいも して えるためには , proper map, そして proper homotopy えるのがよいようである そのような ホモト なうための みも されている

コホモロジ derived category えるときには proper map すが , locally proper map のよい つことが Schnürer Soergel [ SS16 ] により されている

  • locally proper map

ホモトピ としては , Cannon Conner [ CC00 ] big homotopy もある [0 , 1] totally ordered set , そこに される compact connected なものに えて されるものである Penrod [ Pen16 ] ると よい

  • big homotopy

被覆 orbifold など , になる もある

  • (local homeomorphism)

ホモトピ だけのものも える

つの であるとか ホモトピ であることを , だけから 調 べるの しい トポロジ では , のもう ある

ホモトピ したものとして acyclic map がある

  • acyclic map

Raptis [ Rap ] Berrick [ Ber82 ] Hausmann Husemoller [ HH79 ] している f : X Y acyclic であることの 有名 , Y M , された f * : H * ( X ; f * ( M )) H * ( Y ; M ) であるこ , だろう Raptis での , homotopy fiber ホモロジ あることであるが , Quillen plus construction いた もその Introduction げられている Raptis , 2 けて いる

より X Y 被覆

U  =  {Uα }α∈A
V  =  {Vα}α∈A
えられ
f : X -→ Y

α A ホモトピ

f|Uα : Uα -→ V α

のとき , f ホモトピ , という えられる これについては tom Dieck [ tD71 ] している

として , 被覆

U1 ⊂ U2 ⊂ ⋅⋅⋅ ⊂ colim Un = X
                n

Y 1 のときがある , U n なら X になるか , であるが , には しくない 現在 ホモトピ では , このような colimit homotopy colimit えられるか , という して えるのが である のみで , homotopy colimit いずに えたものとして Ancel Roberts [ AE ] がある

References