連続写像とホモトピーに関する基本的な事柄

二 つの 空 間 を 比 較 するときには , 代 数 的 トポロジ ー では 連 続 写 像 を 用 いる 。 しばらく トポロジ ー の 世 界 にいると , 連 続 写 像 の 世 界 にど っ ぷり 漬 か っ てしまい 連 続 ではない 写 像 を 扱 うことに 違 和 感 を 感 じるようになる 。 しかしながら , 多 様 体 の 間 の 連 続 ではない 写 像 の 空 間 を 考 えることもあるので , あまり 連 続 性 に 拘 泥 るのもよくないかもしれ ない 。

ここでは , 連 続 写 像 に 関 する 概 念 で 代 数 的 トポロジ ー でよく 使 われるもの , そして 関 連 したことをまとめておく 。

• 位 相 空 間 の 間 の 写 像 が 連 続 であること
• 位 相 空 間 の 間 の 二 つの 連 続 写 像

  に 対 し f から g への ホモトピ ー (homotopy), および f と g が ホモトピ ッ ク (homotopic) f ≃ g であることの 定 義

• 関 係 ≃ が X から Y への 連 続 写 像全体 の 成 す 集 合 Map( X,Y ) 上 の 同 値 関 係 であること
• X から Y への 連 続 写 像 の ホモトピ ー 類 の 成 す 集 合 [ X,Y ] ( ホモトピ ー 集 合 )
• 基 点 付 き 空 間 の 間 の 基 点 を 保 つ 写 像
• 二 つの 基 点 を 保 つ 写 像 が 基 点 を 保 っ て homotopic であること
• X から Y への 基 点 を 保 つ 連 続 写 像 の 基 点 を 保 つ ホモトピ ー 類 の 成 す 集 合 [ X,Y ] _*
• 空 間 対 ( X,A ) と ( Y,B ) の 間 の 写 像

  より 一 般 に n -ad の 間 の 写 像

  

  の 定 義

• 空 間 対 , より 一 般 に n -ad の 間 の 二 つ 写 像 の ホモトピ ー , そして ホモトピ ー 集 合

二 つの 空 間 が “ 同 じである ” ということは , 写 像 を 用 いて 定 義 される 。 基 本 的 なのは 以下 のものである 。

• 同 相 写 像 (homeomorphism)
• 相対 同 相 写 像 (relative homeomorphism)
• ホモトピ ー 同 値 写 像 (homotopy equivalence)
• simple homotopy 同 値
• 空 間 が 可 縮 (contractible) であること , そして contraction の 定 義
• 空 間 X の self-homotopy equivalence の 成 す 群 ( X )

正 確 には , simple homotopy は 写 像 に 関 することではなく , 単 体 的 複 体 や より 一 般 の cell complex の 単 体 や 胞 体 を 潰 したり 膨 らませたりすることにより 得 られる 関 係 であるが , simple homotopy 同 値 ならば ホモトピ ー 同 値 なので , 上 に 挙 げた 。

Noncompact な 空 間 を 無 限 遠 点 でのふるまいも 考 慮 して 考 えるためには , proper map, そして proper homotopy を 考 えるのがよいようである 。 そのような 圏 で ホモト ピ ー 論 を 行 なうための 枠 組 みも 提 案 されている 。

• proper map
• proper homotopy theory

層 の コホモロジ ー や derived category を 考 えるときには proper map は 重 要 な 役 割 を 果 すが , locally proper map も 同 様 のよい 性 質 を 持 つことが Schnürer と Soergel [ SS16 ] により 示 されている 。

• locally proper map

ホモトピ ー の 変 種 としては , Cannon と Conner [ CC00 ] の big homotopy もある 。 閉 区 間 [0 , 1] を totally ordered set で , そこに 自 然 に 定 義 される 位 相 に 関 し compact で connected なものに 取 り 替 えて 定 義 されるものである 。 Penrod の [ Pen16 ] を 見 ると よい 。

• big homotopy

被覆 空 間 や orbifold など , 写 像 の 局 所 的 な 性 質 が 必 要 になる 場 合 もある 。

• 局 所 同 相 写 像 (local homeomorphism)

同 相 写 像 や ホモトピ ー 同 値 写 像 の 半 分 だけのものも 考 える 。

• 閉 写 像 (closed map) や 開 写 像 (open map)
• neighborhood retract や deformation retract などの retract の 理論

二 つの 空 間 が 同 相 であるとか ホモトピ ー 同 値 であることを , 定 義 だけから 調 べるの は 非 常 に 難 しい 。 代 数 的 トポロジ ー では , 次 のもう 少 し 弱 い 概 念 が 必 要 で ある 。

• n 同 値
• 弱 ホモトピ ー 同 値 ( 弱 同 値 , weak homotopy equivalence)

弱 ホモトピ ー 同 値 に 関 係 したものとして acyclic map がある 。

• acyclic map

Raptis [ Rap ] は Berrick の 本 [ Ber82 ] と Hausmann と Husemoller の 論 文 [ HH79 ] を 参 照 している 。 f : X → Y が acyclic であることの 最 も 有名 な 定 義 は , Y 上 の 任 意 の 局 所 係 数 M に 対 し , 誘 導 された 写 像 f _* : H _* ( X ; f ^* ( M )) → H _* ( Y ; M ) が 同 型 であるこ と , だろう 。 Raptis の 論 文 での 定 義 は , homotopy fiber の ℤ 係 数 の ホモロジ ー が 自 明 で あることであるが , Quillen の plus construction を 用 いた 条 件 もその 論 文 の Introduction に 挙 げられている 。 Raptis は , 他 に 同 値 な 条 件 を 2 つ 見 付 けて いる 。

より 一 般 に X と Y の 被覆

が 与 えられ

が 各 α ∈ A 上 で ホモトピ ー 同 値

のとき , f 自 体 が ホモトピ ー 同 値 か , という 問 題 が 考 えられる 。 これについては tom Dieck が [ tD71 ] で 考 察 している 。

特 別 な 場 合 として , 被覆 が 増 加 列

で Y が 1 点 のときがある 。 問 題 は , 各 U _n が 可 縮 なら X も 可 縮 になるか , であるが , 一 般 には 正 しくない 。 現在 の ホモトピ ー 論 では , このような 問 題 は colimit が homotopy colimit で 置 き 換 えられるか , という 問 題 に 帰 着 して 考 えるのが 普 通 である 。 位 相 空 間 論 のみで , homotopy colimit を 用 いずに 考 えたものとして Ancel と Roberts の [ AE ] がある 。

References