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Delooping Machine

May recognition principle のように , ある X n であることを すということは

X ≃ ΩnBnX

となる B n X ることである このようなものを systematic 方法 delooping machine たりする

n については , Badzioch Chung Voronov [ BCV07 ] によ しい delooping machine されている

  • Badzioch-Chung-Voronov machine

より Map( A,X ) について , A がある をみたせばそのような detect する Lawvere theory することを , Sartwell [ Sar ] している , localize した 使 えるようである

, delooping machine connective spectrum るもので あり , infinite loop machine ばれる , algebraic K -theory から 1970 infinite loop machine された めたものもある しいものが されている

  • Segal Γ-space ( [ Seg74 ] )
  • permutative category による May infinite loop machine
  • bipermutative category E -ring space ( [ May09 ] )
  • fibered symmetric bimonoidal category E -ring spectrum ( [ Gom ] )
  • Γ-space いたもの ( [ Lyd99 ] )
  • commutative 𝕀 -monoid いたもの (Adem, Gómez, Lind, Tillmann [ AGLT17 ] )
  • symmetric monoidal bicategory づいたもの (Osorno [ Oso12 ] )

May Thomason により 典的 infinite loop machine 同等 であることが され ている また , Thomason ての connective spectrum, つまり infinite loop space symmetric monoidal category できることを [ Tho95 ] している Mandell [ Man10 ] による もある Spectrum category symmetric monoidal structure つことから , symmetric monoidal category category する symmetric monoidal structure があるだろうと えるとは である それについては Schmitt [ Sch ] がある Gurski Johnson Osorno [ GJO17 ] symmetric monoidal category symmetric monoidal bicategory している それでもで きるのは connective spectrum category であるが そのような える , れる 2-categorical つから , だそうで ある

Lydakis [ Lyd99 ] , 𝔽 1 使 えるようである Connes Consani [ CC ] , Γ-object monoid object Dundas Goodwillie McCarthy [ DGM13 ] S -algebra んで , それを いて Spec( ) コンパクト している

Adem [ AGLT17 ] , B U などの K -theory した infinite loop space infinite loop space による filtration するための として commutative 𝕀 -monoid いている ring spectrum るための commutative 𝕀 -rig という えている

1 loop machine, つまり delooping machine 一意 については , Thomason がある

  • infinite loop machine 同等 であること [ MT78 ]
  • (1 ) delooping machine 一意 [ Tho79 ]

Segal Γ-space とよく generalized Eilenberg-Mac Lane [ Bad01 ] こともできる より algebraic theory というものを いて , モトピ けるという みがある Badzioch [ Bad02 Bad05 ] ある

えるために , Γ-space equivariant えられている えば , Shimakawa [ Shi89 ] Santhanam [ San11 ] , Bergner Hackney [ BH17 ] , そして Ostermayr [ Ost16 ] などがある Ostermayr によると Segal えていたようである であるが Santhanam model category えている Ostermayr monoidal structure えて いる

  • equivariant Γ-space

Ostermayr [ Ost16 ] equivariant Γ-space category , equivariant connective symmetric spectrum category ( model structure ) Quillen であることを しているが , Santhanam [ San ] equivariant connective orthogonal spectrum category とも Quillen であることを して いる

n delooping machine , から n への Ω n という functor である n delooping machine える には , n をまず することが である C. Berger , [ Ber07 ] n モデル となる となるべき えている その , (co)simplicial object するときの small category Δ iterated wreath product である Θ n とい small category いている これは Joyal preprint により 導入 されたものら しい

Heuts [ Heu ] -operad する えている Operad したもの としては , Bašić Nikolaus [ BN14 ] による dendroidal set いたものもある , dendroidal set model structure , その ホモトピ connective spectrum ホモトピ であることを している , dendroidal set いて できることに なる

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