Small category
の
morphism
を
入
力
も
出
力
も
一
つづつの
blackbox
と
考
えたとき
,
入
力
が
複
数
のものも
許
したものを
multicategory (
あるいは
colored operad
あるいは
pseudo-tensor category)
という
。
Moerdijk
と
Weiss
[
MW07
]
によると
,
small category
の
分
類
空
間
が
simplicial set
を
用
いて
構
成
されるように
, multicategory
の
分
類
空
間
を
構
成
するためには
dendroidal set
を
用
いるのが
自
然
なようである
。
彼
らは
,
この
dendroidal set
という
概
念
を
導入
し
, multicategory
の
nerve
を
dendroidal set
として
定
義
している
。
その
性
質
は
[
MW09
]
で
調
べられている
。
Operad (multicategory)
と
dendroidal set
の
解
説
としては
Weiss
の
[
Wei11
]
がある
。
-
dentroidal set
-
multicategory
の
dendroidal nerve
Nerve
を
取
るという
操
作
が
small category
の
category
を
simplicial set
の
category
に
埋
め
込
み
,
その
中
間
に
quasicategory
という
∞
-category
の
モデル
が
取
れることは
,
最
近
では
有名
な
事実
であるが
, Cisinski
と
Moerdjik
[
CM11
]
は
, multicategory
と
dendroidal set
で
同
じことをやろうとしている
。
つまり
simplicial set
の
圏
の
Joyal model structure
に
対
応
する
model structure
を
dendroidal set
の
圏
に
定
義
し
,
その
fibrant object
として
∞
-multicategory
あるいは
(colored)
∞
-operad
を
定
義
している
。
また
,
[
CM13
]
では
dendroidal set
を
用
いて
complete Segal space
や
Segal category
の
類
似
を
考
えている
。
-
dendroidal set
の
圏
の
Cisinski-Moerdijk model structure
-
∞
-operad
Simplicial set
の
圏
の
model structure
としては
,
通
常
は
Kan complex
を
fibrant object
とする
Quillen
の
model structure
の
方
が
有名
であるが
, Bašić
と
Nikolaus
[
BN14
]
は
,
それに
対
応
する
model structure
を
dendroidal set
の
圏
に
定
義
し
,
その
fibrant object
を
fully Kan dendroidal set
と
定
義
して
いる
。
-
dendroidal set
の
圏
の
Bašić-Nikolaus model structure
-
fully Kan dendroidal set
-
dendroidal set
の
圏
の
stable model structure
Multicategory
は
,
symmetric monoidal category
から
作
られるものがあるので
,
quasicategory
を
category
の
高
次
化
((
∞
,
1)
化
)
と
考
える
視
点
からは
,
∞
-operad
は
symmetric monoidal category
の
高
次
化
と
考
えることができる
。
ホモトピ
ー
論
では
, Thomason
の
結
果
[
Tho95
]
より
, symmetric monoidal category
は
(connective)
spectrum
(
無
限
ル
ー
プ
空
間
)
を
作
る
元
になる
デ
ー
タ
とみなすことが
多
いが
, Heuts
[
Heu
]
や
Nikolaus
[
Nik14
]
によると
,
それは
∞
-operad
から
connective spectrum
の
構
成
へ
一
般
化
して
考
えた
方
がよさそうである
。
また
, Bašić
と
Nikolaus
[
BN14
]
は
,
上
記
のも
のとは
別
の
stable model structure
と
呼
ばれる
model structure
を
定
義
し
,
それを
用
いると
connective
spectrum
の
圏
の
モデル
が
作
れることを
示
して
いる
。
Dyckerhoff
と
Kapranov
[
DK
]
の
2-Segal space
の
関
連
が
, Walde
[
Wal
]
により
調
べ
られている
。
Simplicial set
からは
, simplicial Abelian group,
そして
chain complex
が
作
られる
が
, Bašić
と
Nikolaus
は
[
BN
]
で
,
その
dendroidal set
への
拡
張
を
定
義
して
いる
。
-
dendroidal set
の
chain complex
また
,
彼
等
は
[
BN14
]
で
導入
した
dendroidal set
から
作
られる
spectrum
の
ホモロジ
ー
がその
chain complex
の
ホモロジ
ー
と
同
型
であることを
示
して
いる
。
Simplicial set
と
chain complex
と
言
えば
Dold-Kan correspondence
であるが
, Gutiérrez
と
Lukacs
と
Weiss
[
GLW11
]
は
Dold-Kan correspondence
の
dentroidal version
を
考
えている
。
C
*
-algebra
を
用
いて
dendroidal set
の
圏
と
Quillen
同
値
な
圏
を
構
成
することもでき
るようである
。
正
確
に
言
うと
, separable unital
C
*
-algebra
の
圏
の
上
の
presheaf
の
圏
が
dendroidal set
の
圏
と
Quillen
同
値
になることが
, Mahanta
の
[
Mah
]
で
示
されている
。
Cuntz
の
noncommutative simplex
の
構
成
[
Cun02
]
が
ヒント
にな
っ
ているようで
ある
。
Operad
の
properad
への
一
般
化
に
対
応
するものとして
, Hackney
らの
本
[
HRY15
]
で
dendroidal set
の
一
般
化
が
導入
された
。
Properadic graphical set
と
呼
ばれて
いる
。
Equivariant
版
については
, Pereira
[
Per
]
がある
。
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