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Dendroidal object

Small category morphism つづつの blackbox えたとき , のものも したものを multicategory ( あるいは colored operad あるいは pseudo-tensor category) という

Moerdijk Weiss [ MW07 ] によると , small category simplicial set いて されるように , multicategory するためには dendroidal set いるのが なようである らは , この dendroidal set という 導入 , multicategory nerve dendroidal set として している その [ MW09 ] 調 べられている Operad (multicategory) dendroidal set としては Weiss [ Wei11 ] がある

  • dentroidal set
  • multicategory dendroidal nerve

Nerve るという small category category simplicial set category , その quasicategory という -category モデル れることは , では 有名 事実 であるが , Cisinski Moerdjik [ CM11 ] , multicategory dendroidal set じことをやろうとしている つまり simplicial set Joyal model structure する model structure dendroidal set , その fibrant object として -multicategory あるいは (colored) -operad している また , [ CM13 ] では dendroidal set いて complete Segal space Segal category えている

  • dendroidal set Cisinski-Moerdijk model structure
  • -operad

Simplicial set model structure としては , Kan complex fibrant object とする Quillen model structure 有名 であるが , Bašić Nikolaus [ BN14 ] , それに する model structure dendroidal set , その fibrant object fully Kan dendroidal set して いる

  • dendroidal set Bašić-Nikolaus model structure
  • fully Kan dendroidal set
  • dendroidal set stable model structure

Multicategory , symmetric monoidal category から られるものがあるので , quasicategory category (( , 1) ) える からは , -operad symmetric monoidal category えることができる ホモトピ では , Thomason [ Tho95 ] より , symmetric monoidal category (connective) spectrum ( ) になる とみなすことが いが , Heuts [ Heu ] Nikolaus [ Nik14 ] によると , それは -operad から connective spectrum して えた がよさそうである また , Bašić Nikolaus [ BN14 ] , のも のとは stable model structure ばれる model structure , それを いると connective spectrum モデル れることを して いる

Dyckerhoff Kapranov [ DK ] 2-Segal space , Walde [ Wal ] により 調 られている

Simplicial set からは , simplicial Abelian group, そして chain complex られる , Bašić Nikolaus [ BN ] , その dendroidal set への して いる

  • dendroidal set chain complex

また , [ BN14 ] 導入 した dendroidal set から られる spectrum ホモロジ がその chain complex ホモロジ であることを して いる

Simplicial set chain complex えば Dold-Kan correspondence であるが , Gutiérrez Lukacs Weiss [ GLW11 ] Dold-Kan correspondence dentroidal version えている

C * -algebra いて dendroidal set Quillen することもでき るようである うと , separable unital C * -algebra presheaf dendroidal set Quillen になることが , Mahanta [ Mah ] されている Cuntz noncommutative simplex [ Cun02 ] ヒント にな ているようで ある

Operad properad への するものとして , Hackney らの [ HRY15 ] dendroidal set 導入 された Properadic graphical set ばれて いる

  • properadic graphical set

Equivariant については , Pereira [ Per ] がある

References

[BN]     Matija Bašić and Thomas Nikolaus. Homology of dendroidal sets, arXiv:1509.00702 .

[BN14]     Matija Bašić and Thomas Nikolaus. Dendroidal sets as models for connective spectra. J. K-Theory , 14(3):387–421, 2014, arXiv:1203.6891 .

[CM11]     Denis-Charles Cisinski and Ieke Moerdijk. Dendroidal sets as models for homotopy operads. J. Topol. , 4(2):257–299, 2011, arXiv:0902.1954 .

[CM13]     Denis-Charles Cisinski and Ieke Moerdijk. Dendroidal Segal spaces and -operads. J. Topol. , 6(3):675–704, 2013, arXiv:1010.4956 .

[Cun02]     J. Cuntz. Noncommutative simplicial complexes and the Baum-Connes conjecture. Geom. Funct. Anal. , 12(2):307–329, 2002, http://dx.doi.org/10.1007/s00039-002-8248-6 .

[DK]     Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces I, arXiv:1212.3563 .

[GLW11]     Javier J. Gutiérrez, Andor Lukacs, and Ittay Weiss. Dold-Kan correspondence for dendroidal abelian groups. J. Pure Appl. Algebra , 215(7):1669–1687, 2011, arXiv:0909.3995 .

[Heu]     Gijs Heuts. An infinite loop space machine for -operads, arXiv:1112.0625 .

[HRY15]     Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. Infinity properads and infinity wheeled properads , volume 2147 of Lecture Notes in Mathematics . Springer, Cham, 2015, arXiv:1410.6716 .

[Mah]     Snigdhayan Mahanta. C * -algebraic drawings of dendroidal sets, arXiv:1501.05799 .

[MW07]     Ieke Moerdijk and Ittay Weiss. Dendroidal sets. Algebr. Geom. Topol. , 7:1441–1470, 2007, arXiv:math/0701293 .

[MW09]     I. Moerdijk and I. Weiss. On inner Kan complexes in the category of dendroidal sets. Adv. Math. , 221(2):343–389, 2009, arXiv:math/0701295 .

[Nik14]     Thomas Nikolaus. Algebraic K-Theory of -Operads. J. K-Theory , 14(3):614–641, 2014, arXiv:1303.2198 .

[Per]     Luis Alexandre Pereira. Equivariant dendroidal sets, arXiv:1702.08119 .

[Tho95]     R. W. Thomason. Symmetric monoidal categories model all connective spectra. Theory Appl. Categ. , 1:No. 5, 78–118 (electronic), 1995.

[Wal]     Tashi Walde. 2-Segal spaces as invertible -operads, arXiv:1709.09935 .

[Wei11]     Ittay Weiss. From operads to dendroidal sets. In Mathematical foundations of quantum field theory and perturbative string theory , volume 83 of Proc. Sympos. Pure Math. , pages 31–70. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, arXiv:1012.4315 .