Dendroidal object

Small category の morphism を 入 力 も 出 力 も 一 つづつの blackbox と 考 えたとき , 入 力 が 複 数 のものも 許 したものを multicategory ( あるいは colored operad あるいは pseudo-tensor category) という 。

Moerdijk と Weiss [ MW07 ] によると , small category の 分 類 空 間 が simplicial set を 用 いて 構 成 されるように , multicategory の 分 類 空 間 を 構 成 するためには dendroidal set を 用 いるのが 自 然 なようである 。 彼 らは , この dendroidal set という 概 念 を 導入 し , multicategory の nerve を dendroidal set として 定 義 している 。 その 性 質 は [ MW09 ] で 調 べられている 。 Operad (multicategory) と dendroidal set の 解 説 としては Weiss の [ Wei11 ] がある 。

• dentroidal set
• multicategory の dendroidal nerve

Nerve を 取 るという 操 作 が small category の category を simplicial set の category に 埋 め 込 み , その 中 間 に quasicategory という ∞ -category の モデル が 取 れることは , 最 近 では 有名 な 事実 であるが , Cisinski と Moerdjik [ CM11 ] は , multicategory と dendroidal set で 同 じことをやろうとしている 。 つまり simplicial set の 圏 の Joyal model structure に 対 応 する model structure を dendroidal set の 圏 に 定 義 し , その fibrant object として ∞ -multicategory あるいは (colored) ∞ -operad を 定 義 している 。 また , [ CM13 ] では dendroidal set を 用 いて complete Segal space や Segal category の 類 似 を 考 えている 。

• dendroidal set の 圏 の Cisinski-Moerdijk model structure
• ∞ -operad

Simplicial set の 圏 の model structure としては , 通 常 は Kan complex を fibrant object とする Quillen の model structure の 方 が 有名 であるが , Bašić と Nikolaus [ BN14 ] は , それに 対 応 する model structure を dendroidal set の 圏 に 定 義 し , その fibrant object を fully Kan dendroidal set と 定 義 して いる 。

• dendroidal set の 圏 の Bašić-Nikolaus model structure
• fully Kan dendroidal set
• dendroidal set の 圏 の stable model structure

Multicategory は , symmetric monoidal category から 作 られるものがあるので , quasicategory を category の 高 次 化 (( ∞ , 1) 化 ) と 考 える 視 点 からは , ∞ -operad は symmetric monoidal category の 高 次 化 と 考 えることができる 。 ホモトピ ー 論 では , Thomason の 結 果 [ Tho95 ] より , symmetric monoidal category は (connective) spectrum ( 無 限 ル ー プ 空 間 ) を 作 る 元 になる デ ー タ とみなすことが 多 いが , Heuts [ Heu ] や Nikolaus [ Nik14 ] によると , それは ∞ -operad から connective spectrum の 構 成 へ 一 般 化 して 考 えた 方 がよさそうである 。 また , Bašić と Nikolaus [ BN14 ] は , 上 記 のも のとは 別 の stable model structure と 呼 ばれる model structure を 定 義 し , それを 用 いると connective spectrum の 圏 の モデル が 作 れることを 示 して いる 。

Dyckerhoff と Kapranov [ DK ] の 2-Segal space の 関 連 が , Walde [ Wal ] により 調 べ られている 。

Simplicial set からは , simplicial Abelian group, そして chain complex が 作 られる が , Bašić と Nikolaus は [ BN ] で , その dendroidal set への 拡 張 を 定 義 して いる 。

• dendroidal set の chain complex

また , 彼 等 は [ BN14 ] で 導入 した dendroidal set から 作 られる spectrum の ホモロジ ー がその chain complex の ホモロジ ー と 同 型 であることを 示 して いる 。

Simplicial set と chain complex と 言 えば Dold-Kan correspondence であるが , Gutiérrez と Lukacs と Weiss [ GLW11 ] は Dold-Kan correspondence の dentroidal version を 考 えている 。

C ^* -algebra を 用 いて dendroidal set の 圏 と Quillen 同 値 な 圏 を 構 成 することもでき るようである 。 正 確 に 言 うと , separable unital C ^* -algebra の 圏 の 上 の presheaf の 圏 が dendroidal set の 圏 と Quillen 同 値 になることが , Mahanta の [ Mah ] で 示 されている 。 Cuntz の noncommutative simplex の 構 成 [ Cun02 ] が ヒント にな っ ているようで ある 。

Operad の properad への 一 般 化 に 対 応 するものとして , Hackney らの 本 [ HRY15 ] で dendroidal set の 一 般 化 が 導入 された 。 Properadic graphical set と 呼 ばれて いる 。

• properadic graphical set

Equivariant 版 については , Pereira [ Per ] がある 。

References