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Derivator

Derivator とは , えば small category category させる , をみたすもののことである その つとして , homotopy Kan extension があり , homotopy (co)limit , ホモトピ なえる

Derivator として , Cisinski Neeman [ CN08 ] がある Cisinski Tabuada [ CT12 ] Appendix にまとま ていてよい Groth [ Gro13 ] にも Cisinski Maltsiniotis ムペ から download できるものがあ フランス であるが Künzer Malgoire Maltsiniotis derivator する website ている また , Groth による book project ある

Derivator Grothendieck えたものだと ていたが , Cisinski Neeman よると , Grothendieck にも , のことを えた もいるようである Keller [ Kel91 ] , Franke [ Fra ] , Heller [ Hel88 ] など

Maltsiniotis “Introduction à la théorie des dérivateurs” によると , derivator える motivation つは , triangulated category diagram category えること にある motivation については , Groth [ Gro13 ] Introduction にも いて ある

Maltsiniotis , [ Mal07 ] , triangulated derivator , その algebraic K -theory している

  • pointed derivator
  • triangulated derivator あるいは stable derivator
  • derivator K -theory

Groth [ Gro13 ] , Maltsiniotis により 導入 されたと いつつ , stable dervator という をしている そして [ Groa ] stable derivator けを ている Shulman との [ GS ] では , homotopy finite limit homotopy finite colimit との による stable derivator けを ている

ホモロジ としては , Tabuada dg category universal additive invariant localizing invariant [ Tab08 ] がある また , Goth Šťovíček [ GŠ16 ] では , tilting theory なうために 使 われて いる

Derivator べるためには , 2-category なる

  • prederivator

Prederivator とは , small category 2-category sub-2-category である をみたすもの ( poset sub-2-category など ) から strict 2-category への contravariant functor のことである それがいくつかの をみたすとき derivator うが , その なものとして cohomological および homological direct image functor がある Franke preprint [ Fra ] derivator とほぼ されていて , そこでは (co)homological direct image functor homotopy Kan extension axiom ばれて いる

  • cohomological direct image functor あるいは homotopy right Kan extension
  • homological direct image functor あるいは homotopy left Kan extension

Cisinski Neeman [ CN08 ] によると , これらはそれぞれ , homotopy limit homotopy colimit するもののようである , Keller Nicolas [ KN13 ] Appendix 1 , sequential homological direct image functor telescope によ homotopy colimit することを している

Franke motivation , stable homotopy category chromatic 調 べること にあ たようで , derivator ホモトピ でも 使 える のようである Franke として [ Roi08 ] がある

ホモトピ からは , derivator としてまず のものを ておくべきだ ろう

  • M model category とする このとき 𝔻 M ( I ) = Funct( I op ,M ) れる
    𝔻M : Cat -→ Model  Categories

    derivator になる [ Cis03 ]

Cisinski [ Cis09 ] , このような model category への functor category として される 2-functor 調 べている また Cisinski ムペ から download きる “Catégories dérivables” でも model category associate した derivator について 調 べている

Tabuada dg category universal additive invariant [ Tab08 ] , dg category category model category になることから , それに associate derivator えることにより なわれている その universal additive invariant となる derivator , Tabuada , additive motivator , その base category noncommutative motives category んで いる

  • additive motivator
  • category of noncommutative motives

Tabuada [ CT12 ] , Cisinski additive motivator monoidal structure つことを している Tabuada [ Tab13 ] , algebraic K -theory などの additive invariant , この additive motivator いて universal property わせるとい ている

Groth [ Grob ] Groth Ponto Shulman [ GPS14 ] では monoidal structure えられている

  • monoidal prederivator
  • monoidal derivator

Groth Ponto Shulman [ GPS14 ] によると , monoidal derivator trace additivity えるのに だそうである de Souza [ GAdS14 ] ると よい

Renaudin derivator 2-category combinatorial model category 2-category [ Ren09 ] している

Grothendieck six operations derivator うために , Hörmann [ Hör ] fibered derivator 導入 している

  • fibered derivator

また , その formulation では multicategory いられているので , derivator multicategory されている

  • multiderivator
  • fibered multiderivator

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