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導来圏

Gillespie [ Gila ] Introduction によると , Cartan-Eilenberg derived functor がうまくいかない ホモロジ なうために Grothendieck したのが (derived category) らしい

Abelian category えられた , その chain complex から triangulated category ることができる その triangulated category Abelian category derived category という どういう chain complex るか (bounded かなど ) によりいくつかの derived category がで きる

この Abelian category derived category であるが , では Abelian category からでも たような でできる triangulated category のことを derived category ぶようである

Abelian category derived category については , Gel fand Manin [ GM99 ] がある Derived category 導入 するための motivation Chapter 4 § 1.2 いてある また としては [ Tho01 ] がある Krause 2004 Chicago summer school lecture note [ Kra07a ] によくまとま ていてお めである より しい , えば Brown dg category derived category などについても いてある Exercise [ Kra07b ] として いる

では , ある coherent sheaf derived category , ある module derived category などを 調 , もと 調 べるということを なう えば Bondal Orlov [ BO02 ] るとよい Bridgeland stability condition derived category ( triangulated category ) 全体 えるためのもので ある

このような での derived category やその についての については , Princeton Institute for Advanced Study われた conference agenda ると よい Ben-Zvi による note scan ここから

なる , それらからできる derived category になることがあ とくに duality derived category としてみる , というのは である この のことについては Hille Van den Bergh [ HVdB07 ] をみるとよい そこには 以下 のような げてある :

  • sphere bundle とその dual bundle derived category Fourier-Sato transform [ SKK73 ]
  • Abelian variety とその dual coherent sheaf derived category Fourier-Mukai transform による [ Muk81 ]
  • Beilinson による P n とある derived category [ Beĭ84 ]
  • tilting による derived equivalence [ Hap88 ]
  • Kontsevich homological mirror symmetry
  • Riemann-Hilbert correspondence [ Kas84 Meb84b Meb84a ]

, derived category える functor , もとの Abelian category, るいはそのもとにな する から られているかという えられる えば smooth projective variety coherent sheaf derived category , Orlov [ Orl97 ] により 調 べられている くの , Fourier-Mukai transform によ えられるようである

Derived category つの object として , トポロジ 調 べるときのように , derived category して 不変 したりするので ある

えば , そのような 不変 として Picard group することもでき Yekutieli [ Yek99 ] Rouquier Zimmermann [ RZ03 ] により えられて いる

Miyachi Yekutieli [ MY01 ] hereditary algebra について 調 べている

ホモトピ からは , とは differential graded commutative algebra のことである , その derived category えることは である そのように えると , derived category 不変 から 不変 られる それを 調 べた のが , Jørgensen [ Jør04 Jør06 ] である また Kuribayashi , Avramov らが [ ABIM10 ] 導入 した triangulated category object level という いて , [ Kur13 Kur12 ] ある X する 不変 導入 した

また Abel triangulated category 不変 として Hall algebra というものが ある

には derived category なども 調 べられている としては , Ishii Uehara [ IU05 ] Bridgeland [ Bri09 ] ると よい

Coherent sheaf derived category exceptional collection (sequence) という object があると , それから quiver できる これは Bondal [ Bon90 ] による であるが , なことは , その quiver から derived category 再構 できると いうことである つまり , その quiver derived category , coherent sheaf derived category になる その quiver moduli えたのが , Bergman Proudfoot [ BP06 BP08 ] ある

, その coherent sheaf derived category から 再構 するという , Bondal Orlov [ BO01 ] でも えられている

した として , dg category (Differential Graded category) がある Keller [ Kel94 ] むとよい

ホモトピ からは , やはり model category として えたくな それについては , Gillespie [ Gila ] などがある Gillespie [ Gilb ] では , Murfet thesis 導入 された scheme quasicoherent sheaf “mock homotopy category of projectives” になる model structure して いる

  • mock homotopy category of projectives

Murfet thesis quasicoherent sheaf category には enough projectives たないことから , projective object chain complex homotopy category わりになるものとして 導入 された Murfet thesis website から download できる

approach としては , Lurie derived -category がある Abelian category stable -category ることができるのである

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