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DG category

など , ホモロジ 有用 してきた では , Abelian category から derived category , その triagulated category としての 調 べることにより , てきた かし モデル ている から ると , derived category にしてしまわ ないで , chain complex のままで えた がいいのではないか , てし まう

それに する での つが differential graded category (dg category), そしてその である A -category である つまり , triangulated category として dg category えようと うのである , ての well-generated triangulated category dg category から いるということは , Tabuada [ Tab09 ] べられている motivation については [ Shk13 ] Introduction にまとめられてい では , Kontsevich matrix factorizatioin dg category Landau-Ginzburg model における B-model するのに 使 うことを して いる

  • differential graded category (dg category)
  • A -category
  • Abelian category derived category dg enhancement

dg category えたのは G.M. Kelly [ Kel65 ] であるらしい このような なことも めた dg category については , B. Keller survey [ Kel06 ] をみると よい

dg category morphism えるときには , homology するもの invertible であると いたい つまり

   f     g
A ← - B -→  C

f quasi-equivalence のとき , A から C morphism があると いたい Vologodsky [ Vol10 ] ではそのようなものは quasi-functor ばれている

  • dg category dg functor
  • dg category quasi-equivalence
  • dg category dg quasi-functor

dg category A つの object a つとき , morphism Hom A ( a,a ) morphism として differential graded algebra になる この dg category differential graded algebra (dg algebra) にな ている このよう ( k -linear) category ring with many objects とみなすのは , よくやる ある

このように category して えると , dg algebra Hom A ( a,a ) module , A dg module category への functor

F : A - → dg(k-Mod )

による a F ( a ) できる これを して dg category module できる

このように , dg algebra することは , その derived category , ほと んど dg category することができる えば , dg category module Frobeinus になるし , homotopy triangulated category になる Homotopy quasi-isomorphism localize して derived category れる

  • dg category derived category

ホモトピ えば であるが , dg category object deformation theory ついて えているのは , Efimov Lunts Orlov [ ELO09 ELO10 ELO11 ] ある

dg category では なえる これが triangulated category したときの dg category つだろう えば , triagulated category えるときに , dg enhancement 使 ているのは , Sosna [ Sos12 ] ある

Ringel により Abelian category して された Hall algebra , Toën [ Toë06 ] により dg category されている

Tabuada , dg category よりもその “topological version”, つまり chain complex spectrum えたものを える であると えているようである Tabuada spectral category んでいる

dg algebra しては curved があるが , dg category しても curved dg category えることができる Polishchuk Positselski [ PP12 ] など

  • curved dg category

dg algebra としては , p graded algebra 微分 d p = 0 をみたす p -dg algebra というものがある Elias Qi [ EQ16 ] では , その many-objectification ある p -dg category する

  • p -dg category

Laugwitz Miemietz [ LM ] では , その 2-category えられて いる

References

[ELO09]     Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. Deformation theory of objects in homotopy and derived categories. I. General theory. Adv. Math. , 222(2):359–401, 2009, arXiv:math/0702838 .

[ELO10]     Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. Deformation theory of objects in homotopy and derived categories. II. Pro-representability of the deformation functor. Adv. Math. , 224(1):45–102, 2010, arXiv:math/0702839 .

[ELO11]     Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. Deformation theory of objects in homotopy and derived categories III: Abelian categories. Adv. Math. , 226(5):3857–3911, 2011, arXiv:math/0702840 .

[EQ16]     Ben Elias and You Qi. An approach to categorification of some small quantum groups II. Adv. Math. , 288:81–151, 2016, arXiv:1302.5478 .

[Kel65]     G. M. Kelly. Chain maps inducing zero homology maps. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 61:847–854, 1965.

[Kel06]     Bernhard Keller. On differential graded categories. In International Congress of Mathematicians. Vol. II , pages 151–190. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, arXiv:math/0601185 .

[LM]     Robert Laugwitz and Vanessa Miemietz. Cell 2-Representations and Categorification at Prime Roots of Unity, arXiv:1706.07725 .

[PP12]     Alexander Polishchuk and Leonid Positselski. Hochschild (co)homology of the second kind I. Trans. Amer. Math. Soc. , 364(10):5311–5368, 2012, arXiv:1010.0982 .

[Shk13]     D. Shklyarov. Hirzebruch-Riemann-Roch-type formula for DG algebras. Proc. Lond. Math. Soc. (3) , 106(1):1–32, 2013, arXiv:0710.1937 .

[Sos12]     Pawel Sosna. Linearisations of triangulated categories with respect to finite group actions. Math. Res. Lett. , 19(5):1007–1020, 2012, arXiv:1108.2144 .

[Tab09]     Gonçalo Tabuada. Homotopy theory of well-generated algebraic triangulated categories. J. K-Theory , 3(1):53–75, 2009, arXiv:math/0703172 .

[Toë06]     Bertrand Toën. Derived Hall algebras. Duke Math. J. , 135(3):587–615, 2006, arXiv:math/0501343 .

[Vol10]     Vadim Vologodsky. On the derived DG functors. Math. Res. Lett. , 17(6):1155–1170, 2010, arXiv:1004.1918 .