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Discrete Morse Theory

Bloch [ Blo13 ] によると , Morse theory discrete analogue えた いるようである 有名 なのは , Forman CW Morse theory だろう Bloch , Banchoff [ Ban67 Ban70 Ban83 ] げている この “discrete Cerf theory があるか という Math Overflow する コメント では , Bestvina [ Bes08 ] げられている

Forman のものは , としては [ For95 For98b For98a MY99 ] などがある としては , Forman による User’s Guide [ For02b ] がある Jonsson graph から できる [ Jon08 ] Kozlov [ Koz08 ] にも まれて いる

  • discrete Morse function
  • critical cell
  • critical cell Betti する Morse

Morse , critical cell 生成 えているのは , King Knudson Mramor [ KKM ] である

regular cell complex には , その face poset できる えば , Morse theory gradient vector field するのは , face poset Hasse diagram acyclic matching である また gradient flow するのは , その acyclic matching path である

  • discrete vector field
  • acyclic matching

Forman , gradient flow する path として , 1 にな てい alternating sequence えたが , それでは しすぎて , Morse theory をするのは しい そこで , Nanda Tanaka との [ NTT ] flow path という 導入 した

  • Forman gradient path
  • flow path

Flow path しい gradient flow であることは , Cohen-Jones-Segal preprint [ CJS ] されていることで されている , てい Nanda による categorical approach [ Nan ] もある

Morse theory には , Morse がある transversality たす , ホモロジ がその ホモロジ になる chain complex れるが , discrete Morse theory でも chain complex できる Gallais はその chain complex combinatorial realization [ Gal10 ] えて いる

PL topology など えられている

微分 Morse 理論 との であるが , それについては Gallais [ Gal10 ] Benedetti [ Ben16 ] らが 調 べている

variation えられている

Forman Witten [ Wit82 ] [ For98b ] えている Novikov による Morse 1-form する Morse theory [ For02a ] えている

Bauer Edelsbrunner [ BE14 ] 使 われている “generalized discrete Morse theory” では , つの cell face poset での interval matched pair わりに 使 われている

L 2 -Betti しても Mathai Yates により discrete Morse theory ある

  • L 2 -discrete Morse theory [ MY99 ]

この Mathai Yates では , 限個 cell CW complex discrete Morse theory することが えられている からの discrete Morse theory としては , Kukiela [ Kuk ] [ Kuk13 ] えているものが ある

使 えるようにした version Benedetti [ Ben12 ] えて いる

Goresky MacPherson stratified Morse theory discrete , Knudson Wang [ KW ] えられている

( chain complex する ) えられている かにより , えられたようである Kozlov [ Koz05 ] , Batzies Welker [ BW02 ] とそ れを させた Jöllenberg Welker [ JW JW09 ] , そして Sköldberg [ Skö06 ] がある Kozlov [ Koz08 ] algebraic Morse theory んで いる その N -complex への Jonsson この preprint して いる

  • algebraic Morse theory
  • N -complex する algebraic Morse theory

Freij [ Fre09 ] による equivariant version もある

  • equivariant discrete Morse theory

Nicolaescu [ Nic10 ] discrete Morse theory tame space ( o -minimal structure ) tame flow 理論 としてとらえ , tame flow 理論 して いる

Discrete Morse theory , による にも 使 われるが , その から random discrete Morse theory という Benedetti Lutz [ BL14 ] により 導入 されて いる

  • random discrete Morse theory

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