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安定ホモトピー圏での双対性

ホモトピ いると , ( ) ホモロジ レベル レベル げることができる もちろん , には ではなく spectrum であるが えば , Alexander duality するのが Spanier-Whitehead duality [ SW55 ] ある

  • Spanier-Whitehead duality

なのは spectrum category いると , なえるこ とである 双対 については , まず Pontrjagin duality する Brown-Comenetz duality [ BC74 ] がある

  • Brown-Comenetz duality

典的 には , injective Abelian group M , cohomology theory Hom( π -* ( - ) ,M ) する spectrum I M , X Brown-Comenetz dual function spectrum いて

I  X = F (X, I )
 M           M

する 換環 commutative ring spectrum での sphere spectrum することを えると , をより ( ) 換環 にし commutative ring spectrum R module spectrum duality することが えられ これについては , えば , Greenlees Stojanoska [ GS ] べられて いる

Stojanoska [ Sto ] によると , にも のような duality がある

  • Mahowald-Rezk duality [ MR99 ]
  • Anderson duality

Greenlees Meier [ GM ] では , Anderson duality について , D.W. Anderson Kainen [ Kai71 ] げられている D.W. Anderson , こから download できる Greenlees Meier によると C 2 -equivariant , Ricka [ Ric16 ] により 調 べられた

Anderson dual , Abel して Hom( - , ) (Pontrjagin dual) Hom( - , ) ることの ホモトピ であり , Hom( - , ) Hom( - , ) spectrum level Brown-Comentz dual えられる そして , Anderson dual , それらの ホモトピ イバ として れる

スペクトラム Anderson dual , Hopkins Singer [ HS05 ] 使 われてい では , Freed [ Fre ] Freed Hopkins [ FH ] によりある topological phase するのに いられている

Stojanoska [ Sto ] , tmf Anderson duality “self-dual” であることを elliptic curve moduli stack いて しようとしている Morava K -theory with reality Anderson dual する self-duality については , Ricka [ Ric16 ] 調 べられ ている

Dwyer, Greenlees, Iyengar [ DGI06 ] Gorenstein condition ring spectrum した [ DGI11 ] では , Gross-Hopkins duality [ HG94 ] Gorenstein condition との について べている

  • Gross-Hopkins duality

Brown-Comenetz duality Anderson duality , くことに , してきた Kapustin [ Kapb Kapa ] bordism group Pontrjagin dual 使 ているのに , Freed [ Fre ] Madsen-Tillmann spectrum Brown-Comenetz dual している

References

[BC74]     Edgar H. Brown, Jr. and Michael Comenetz. The Pontrjagin dual of a spectrum. In New developments in topology (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972) , pages 11–18. London Math. Soc. Lecture Note Ser., No. 11. Cambridge Univ. Press, London, 1974.

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[DGI11]     W. G. Dwyer, J. P. C. Greenlees, and S. B. Iyengar. Gross-Hopkins duality and the Gorenstein condition. J. K-Theory , 8(1):107–133, 2011, arXiv:0905.4777 .

[FH]     Daniel S. Freed and Michael J. Hopkins. Reflection positivity and invertible topological phases, arXiv:1604.06527 .

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[GM]     J. P. C. Greenlees and Lennart Meier. Gorenstein duality for Real spectra, arXiv:1607.02332 .

[GS]     J. P. C. Greenlees and V. Stojanoska. Anderson and Gorenstein duality, arXiv:1705.02664 .

[HG94]     M. J. Hopkins and B. H. Gross. The rigid analytic period mapping, Lubin-Tate space, and stable homotopy theory. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) , 30(1):76–86, 1994, http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1994-00438-0 .

[HS05]     M. J. Hopkins and I. M. Singer. Quadratic functions in geometry, topology, and M-theory. J. Differential Geom. , 70(3):329–452, 2005, arXiv:math/0211216 .

[Kai71]     Paul C. Kainen. Universal coefficient theorems for generalized homology and stable cohomotopy. Pacific J. Math. , 37:397–407, 1971.

[Kapa]     Anton Kapustin. Bosonic Topological Insulators and Paramagnets: a view from cobordisms, arXiv:1404.6659 .

[Kapb]     Anton Kapustin. Symmetry Protected Topological Phases, Anomalies, and Cobordisms: Beyond Group Cohomology, arXiv:1403.1467 .

[MR99]     Mark Mahowald and Charles Rezk. Brown-Comenetz duality and the Adams spectral sequence. Amer. J. Math. , 121(6):1153–1177, 1999, http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v121/121.6mahowald.pdf .

[Ric16]     Nicolas Ricka. Equivariant Anderson duality and Mackey functor duality. Glasg. Math. J. , 58(3):649–676, 2016, arXiv:1408.1581 .

[Sto]     Vesna Stojanoska. Duality for Topological Modular Forms, arXiv:1105.3968 .

[SW55]     E. H. Spanier and J. H. C. Whitehead. Duality in homotopy theory. Mathematika , 2:56–80, 1955.