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楕円コホモロジーの構成

コホモロジ については , その , K 理論 のような いた けることが , つである

コホモロジ としては , elliptic genus から Landweber exact functor theorem いて することはできる しかしながら , それでは いることはできない

ではどのような ならばよいのだろうか ? コホモロジ つべき として Hu Kriz [ HK04 ] 以下 のことが げられて いる :

  • Moonshine がある より には , Monster F 1 moonshine module V
                  -1
BF1 -→  K [[q]][q  ]

    のような factorization

    BF1 -→ BellV ♮ -→ E -→ K [[q]][q-1]

    ここで , K K -theory する spectrum , B ell V Hu Kriz による conformal field theory のとしての , E された コホモロジ する spectrum である

みとしては 以下 のものがある

まずは K -theory をして , ベクトル いて するという アイデア がある Mark Hovey サイト には , コホモロジ geometric object るた めには , Kapranov Voevodsky した 2-vector space ねた 2-vector bundle 使 うべきだと いてある その アイデア した として , Baas Dundas Rognes によるもの [ BDR04 ] がある その Baas Bökstedt Kro による “2-categorical K -theories” Institute Mittag-Leffler preprint として るよう にな ArXiv でも [ BBK12 ] として された さらに [ BDRR13 BDRR11 ] , [ BDR04 ] “a form of elliptic cohomology” として えてよいことが されて いる

  • 2-vector space
  • 2-vector bundle
  • rank 1 2-vector bundle には × - gerbe である
  • 2-vector bundle curving
  • 2-vector bundle curving から anomaly line bundle られる
  • 2-vector bundle connective structure
  • 2-vector bundle connective structure から Map( S 1 ,X ) virtual 2-vector bundle られる

Baas-Dundas-Rognes アイデア , というより Kapranov-Voevodsky 2-vector space という はまだ けずりな じがする より なのは Baez による 2-Hibert space [ Bae97 ] , なのは Yetter measurable category のように える

Baez Crans [ BC04 ] 2-Lie algebra するという motivation 2-vector space えた しかしながら , Baas Bökstedt Kro [ BBK12 ] machinary 使 うと Baez-Crans 2-vector space からは , K -theory つできるだけなので , elliptic cohomology には かもしれ ない

elliptic cohomology あるかどうか からないが , イバ categorification である 2-bundle という することも みられている [ Bar ] どである そこには principal 2-bundle への ホモトピ すること である , いてある

elliptic object というものを いて するという アイデア ある

G. Segal によるものらしいが , Stolz Teichner [ ST04 ] により しく 調 べら れている それをもとに cohomology theory する quantum field theory なす として しようというのが , Cheung thesis [ Che ] である Savelyev [ Sav ] , Stolz-Teichner なところを dg category えよ うとする , つまり topological conformal field theory からの , Stolz-Teichner である

Stolz Teichner , Hohnhold らと supersymmmetric Euclidean field theory いて elliptic cohomology しようとしている その project のまとめが [ ST11 ] である

Baas-Dundas-Rognes のものも Stolz-Teichner のものも , 2-category 使 ている , Ganter Kapranov [ GK08 ] , このように elliptic cohomology 2-category われるのは であると ている equivariant elliptic cohomology のためには , 2-category object への , つまり 2-category object での えている

には [ TV08 ] 最後 にあるように geometric stack として する のがいいのだろうか Toën Vezzosi [ TV09 ] では , sheaf categorification (categorical sheaf) えようとしている

S 1 -equivariant でありかつ rational なものについては , Greenlees [ Gre05 ] えている

ホモトピ えられるものとしては , Haynes Miller Hopkins topological modular form tmf しい ものだろう

Berwick-Evans [ BE ] , tmf そのものではないが したものの している Tripathy との [ BET ] では , equivariant えて いる

K -theory , アプロ があるが , この Henriques による MathOverflow によると , elliptic cohomology (tmf) von Neumann algebra いて しようという アイデア (?) もあるらしい Douglas とその アイデア について いたのが [ DH11 ] のようである

References

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