Enriched Category

Enriched category とは , 二 つの object の 間 の morphism の 集 合 が , ある category の object にな っ ているようなものである 。 例 えば , 位 相 空 間 と 連 続 写 像 の 圏 では 二 つの object X と Y の 間 の morphism 全体 の 集 合 Map( X,Y ) に コンパクト 開 位 相 を 入 れることにより , 位 相 空 間 の 圏 で enrich された 圏 とみなすことがで きる 。

より 一 般 に monoidal category により enrich された category を 考 えることができ る 。 そのような 一 般 の enriched category についてまとめたものとしては , まず Kelly の [ Kel05 ] がある 。 他 にも , Borceux の 本 [ Bor94 ] の 第 2 巻 第 6 章 などが ある 。

• V で enrich された category の 間 の V -functor
• V -functor の 間 の V -natural transformation

代 数 的 な 例 としては , ホモロジ ー 代 数 で 現 われる additive category や Abelian category などがある 。 他 にも dg category など , 現 代 的 な ホモロジ ー 代 数 では enriched category がよく 使 われる 。

• enriched category の 例

これらを 調 べるときには , enriched category の 一 般 的 な 性 質 を 知 っ ていると 見 通 し がよくなることも 多 い 。 例 えば , dg category の category が symmetric monoidal category になるということは , 次 の 性 質 から 分 かる 。

• symmetric monoidal category で enrich された category の category は symmetric monoidal category の 構 造 を 持 つ 。

Enriched category の Yoneda Lemma については , Hinichi [ Hin ] が 考 えて いる 。

圏 C が 自 分 自 身 で enrich されているときには , internal Hom functor が 定 義 されて いると 考 えることができる 。 そのようなものを closed monoidal category と 呼 ぶ 。 特 に , monoidal structure が 直 積 で 与 えられているときには , Cartesian closed category と 呼 ばれる 。 各 object x に 対 し comma category C ↓ x が Cartesian closed であるときには , locally Cartesian closed と 呼 ばれる 。 Monoidal category にな っ ていることを 仮 定 せずに , internal Hom functor を 持 つ category を 定 義 することもできる 。 Eilenberg と Kelly の closed category [ EK66 ] で ある 。

• closed monoidal category
• Cartesian closed category
• locally Cartesian closed category
• closed category

Enriched category での (co)limit については Kelly の [ Kel05 ] がある 。 そこでは indexed (co)limit と 呼 ばれていているが , Kelly と Schmitt の [ KS05 ] では , weighted (co)limit と 呼 ばれている 。

• Indexed (co)limit あるいは weighted (co)limit

例 えば , McClure と Schwänzl と Vogt の topological Hochschild homology に 関 する 論 文 [ MSV97 ] や Panov と Ray と Vogt の Davis-Januszkiewicz space に 関 する 論 文 [ PRV04 ] などで 使 われている 。

Enriched category での Kan extension については , Kelly の 本 の 他 に Dubuc の [ Dub70 ] と Street の [ Str74 ] がある 。 Koudenburg [ Kou14 ] はそれらを 統 一 するには , double category を 使 うべきだと 言 っ ている 。

• enriched category での Kan extension

Monoidal category には 様 々 な 一 般 化 が 知 られているので , それらを 用 いた enriched category の 一 般 化 も 考 えられている 。 例 えば , lax monoidal category により enrich さ れた category は , Batanin と Weber の [ BW11 ] で 使 われている 。 Symmetric monoidal category の category で enrich された bicategory は , Guillou の [ Gui10 ] で 調 べられて いる 。

Batanin と Markl [ BM12 ] によると , enriched category の monoidal structure を 考 えるためには , 2 つの monoidal structure を 持 つ duoidal category による enrichment を 考 えるのがよいようである 。

また , object が 一 つの bicategory が monoidal category であることから , bicategory で enrich された category を 考 えることもできる 。 これは , Street の [ Str05 ] によるとか なり 古 く (80 年 代 ) から 考 えられてきたようである 。 例 えば , Walter の [ Wal82 ] や Betti と Carboni の [ BC82 ] などがある 。 更 に , そのような 構 造 が 最 初 に 現 れたのは Bénabou の polyad [ Bén67 ] らしい 。

• bicategory で enrich された category

文 献 としては , 上 記 のものの 他 には Kelly, Labella, Schmitt, Street の [ KLSS02 ] が ある 。

別 の 方 向 として , enrich される category を bicategory にする , というものがある 。 特 別 な 場 合 として , enrich された monoidal category が 考 えられる 。 Morrison と Penneys [ MP ] が braided monoidal category で enrich された monoidal category を 定 義 し , 調 べている 。

• braided monoidal category で enrich された category

より 一 般 に monoidal bicategory で enrich された bicategory を 考 えることもでき る 。 Hoffnung の [ Hof ] など 。

• enriched bicategory

Monoidal bicategory による enrichment を 高 次 の 圏 の モデル を 構 成 するために 使 お うとしているのは , Cheng と Gurski [ CG14 ] である 。 Strict 2-category が small category の category で enrich された category であることから , weak enrichment を 取 る 操 作 を 繰 り 替 えせれば 高 次 の 圏 が 構 成 できる 。 その 際 に Lack の 導入 した icon という 概 念 を 用 いている 。

現 代 的 な 扱 いとしては , Bacard の [ Bacc ] の 方 向 がよいのだろうか 。 Bicategory の 中 で weak equivalence の class を 定 義 し , その デ ー タ を 用 いた bicategory で enrich された category を 考 えている 。 Leinster の homotopy monoid や Segal category などをこの 枠 組 みで 扱 えるらしい 。

Bacard は , 更 に [ Baca ] で monoidal model category で weakly enriched された category を 考 えている 。 Monoidal model category で enrich された category の 代 表 は simplicial category であり , その ホモトピ ー 論 は Dwyer と Kan の 研究 [ DK80c ,  DK80a ,  DK80b ] を 元 によく 研究 されている 。 一 般 の monoidal model category で enrich された category の ホモトピ ー 論 も 同 様 に 構 築 できるは ずである 。 そのような 方 向 での 研究 として Lack と Rosicky の [ LR16 ] が ある 。

更 に , monoidal ( ∞ , 1)-category で weakly enrich された ( ∞ , 1)-category も 考 えら れている 。 Gepner と Haugseng の [ GH15 ] である 。 別 の approach として , co-Segal enriched category という 概 念 を 導入 した , Bacard の [ Bacb ] がある 。 使 われているのは , 2-category と model category である 。

References