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Equivariant Homology and Cohomology

トポロジ われる コホモロジ equivariant についての とし ては , Bredon [ Bre67 ] , Hsiang [ Hsi75 ] , Allday Puppe [ AP93 ] , Brion [ Bri98a ] などがある

まずは , (co)homology theory るのがよい

Equivariant K -theory については , Atiyah [ Ati61 ] Atiyah Segal [ AS69 ] により された との であるが , K -theory v 1 -periodic cohomology theory であることに , v n -periodic cohomology theory Borel equivariant cohomology への えたのが , Hopkins, Kuhn, Ravenel 仕事 [ HKR00 ] ある

  • Hopkins-Kuhn-Ravenel generalized group character

この Stapleton [ Sta13 ] による もある Stapleton Talbot workshop での lecture note [ Sta ] として しているが , かなり がないと むのはつら いだろう

Borel construction による equivariant cohomology いて , Fadell Husseini [ FH87 FH88 ] , コホモロジ ideal 不変 した Angel らの [ AB ] にその がまとめられて いる

  • Fadell-Husseini index

Živaljević User’s Guide [ Živ98 ] がある Blagojević, Ziegler, そして その 研究 により 使 われている [ BZ11 BZ09 BLZ15 ] など

Tene [ Ten ] Borel construction による equivariant homology , Poincaré duality たせるための しい equivariant cohomology して いる

Bredon , G orbit category O ( G ) いた equivariant cohomology した

Bounding class B めた B -bounded cohomology というものもある Ji, Ogle, Ramsey [ JOR ] である

とした としては Brion [ Bri98b ] がある Borel construction による から equivariant Chow ring まで いてある とも , には stack コホモロジ として えるのがよいのかもしれない Joshua [ Jos07 ] Introduction では , Borel-type コホモロジ Bredon-type コホモロジ べてある

現在 では , G しては , RO( G ) grading たものとして するのが しい コホモロジ えられているようである その ようなものは , May 仕事 [ LMM81 LMSM86 May96 ] たが , この MathOverflow May による によると , Wirthmüller [ Wir74 ] tom Dieck suggest されて えたのが のようである

Equivariant cohomology する spectral sequence ももちろん されて いる

として Kriz graph chromatic number [ Kří92 Kri00 ] ある

コホモロジ についても えられている Caruso [ Car99 ] など Lewis-May-Steinberg stype [ LMSM86 ] spectrum RO( G )-graded Hopf algebroid いたものとしては , Ricka [ Ric15 ] がある

Equivariant cohomology する として , Farrell-Jones fibered isomorphism conjecture がある Farrell Jones [ FJ93 ] algebraic K -theory について たものであるが , Bartels Lück [ BL06 ] でより formulate れた

Bartels Lück , Echterhoff [ BEL08 ] Farrell-Jones conjecture などに れる assembly map 調 べるために , groupoid spectrum から equivariant cohomology theory することを えている

については Goresky Kottwitz MacPherson [ GKM98 ] 有名 である もちろん , それは ordinary cohomology する であるし , する complex torus であ その Harada Henriques Holm [ HHH05 ] により えられている Cohomology theory generalized cohomology にな ているし , である , stratified space である target Kac-Moody flag variety であ るが

Kac-Moody あるいは affine flag variety には りかの があるようで , Kashiwara Shimozono [ KS09 ] 調 べられているのは , Kashiwara [ Kas89 ] され たものである , その equivariant K -theory 調 べている

Goresky-Kottwitz-MacPherson アプロ づいた equivariant (co)homology Tymoczko [ Tym05 ] いている また , この する Localization Techniques in Equivariant Cohomology という Wiki もできたようである Schubert calculus について がどこまで られているか , open problem list ある

2 -action (co)homology について , Hausmann Holm Puppe [ HHP05 ] しく 調 べている 2 -action としてすぐ かぶのは , という 素多 である えば , Grassmann による 2 -action による fixed point set Grassmann であるが , その 𝔽 2 cohomology にな Grassmann 𝔽 2 cohomology にな ている はこのよ うな 2 conjugationn space , しく 調 べて いる

  • conjugation space

については , alternating homology という homology される Houston image computing spectral sequence する [ Hou99 ] るとよい

微分 しては de Rham 理論 できる Lie しては , その equivariant がある

(co)homology えば Poincaré duality であるが , それについては Costenoble Waner [ CW16 ] がある

Lie するときは , その maximal torus する Weyl する けられるとうれしい , Borel equivariant cohomology, つまり BG ホモロジ については , にはよく られている がある それを Borel cohomology した それを えたのが Holm Sjamaar [ HS08 ] である そこでは Grothendieck torision index Demazure [ Dem73 Dem74 ] Bernstein-Gel’fand-Gel’fand [ BGG73 ] divided difference operator 使 われていて Grothendieck torsion index については Totaro [ Tot05b Tot05a ] 調 べられている

のときはどうすればよいのだろうか Kichloo [ Kit09 ] なるかもしれない

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