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Quillen Exact Category

Exact category ばれるものには つある つは Barr により [ Bar71 ] , もう つは Quillen により [ Qui73 ] 導入 された である Abelian category とな ているものであるが , Barr のものと Quillen のものは のもので ある

ここでは , Quillen exact category について えば , additive category “short exact sequence” とみなすべき されている のこと である Keller [ Kel90 ] Appendix A には , Quillen にしたものが てある

としては , Bühler [ Büh10 ] がある , Quillen にな についても ではあるが いてある えば , Heller [ Hel58 ] Yoneda [ Yon60 ] など そして derived category についても かれているので , まずはこ から めてもよいかもしれない

, Abelian category short exact sequence により exact category Abelian category full subcategory にな ているような additive category , その Abelian category short exact にな ている , にある をみたすもの exact として exact category にな ていることが えば split short exact sequence など

もちろん , Abelian category まれている くない Quillen original でも , (Quillen なので であるが ) Abelian category への みを いずに されている

とも , Quillen をみたす exact category Abelian category exact category として むことができるので , には Abelian category subcategory してかまわない これも Quillen [ Qui73 ] いてある Bühler [ Büh10 ] Appendix るのがよいだろう

  • exact category exact functor
  • exact category Abelian category exact category として むこと ができる

でも 使 えるようである Sieg Wegner [ SW11 ] , quasiabelian category semiabelian category のような additive category kernel cokernel つよう なものには maximal exact structure があることを しているが , その てくる topological vector space ホモロジ なうことで ある

Exact category からは ることができる それにより , Quillen [ Qui73 ] exact category algebraic K -theory した

  • exact category M しその Q -construction QM
  • QM により symmetric monoidal category になり , てその BQM になる
  • π 1 ( BQM ) M Grothendieck group K 0 ( M )

では , より できる Waldhausen S -construction いる のが だと

Meyer [ Mey ] , topological algebra ( bornological algebra ) module ホモロジ , exact category とその いることを している Quasi-Abelian category にもなるので , Schneiders derived category [ Sch99 ] 使 えそうなものだが , Meyer にはそれでは ダメ しい

Huayi Chen [ Che10 ] exact category した arithmetic exact category という している ベクトル Harder-Narasimhan filtration えて いるなど , Bridgeland stability とどのように があるのか

としては , Bazzoni Crivei one-sided exact category [ BC13 ] もあ そこでは , Rosenberg preprint Rump [ Rum10 ] などが げられて いる

Nakaoka Palu [ NP ] exact category triangulated category として extriangulated category という 導入 している

  • extriangulated category

Barwick [ Bar15 Bar ] ( , 1)-category への えて , その algebraic K -theory 調 べている

  • exact ( , 1)-category

References

[Bar]     C. Barwick. On the Q construction for exact quasicategories, arXiv:1301.4725 .

[Bar71]     Michael Barr. Exact categories. In Exact Categories and Categories of Sheaves , volume 236 of Lecture Notes in Mathematics , pages 1–120. Springer Berlin Heidelberg, 1971.

[Bar15]     Clark Barwick. On exact -categories and the Theorem of the Heart. Compos. Math. , 151(11):2160–2186, 2015, arXiv:1212.5232 .

[BC13]     Silvana Bazzoni and Septimiu Crivei. One-sided exact categories. J. Pure Appl. Algebra , 217(2):377–391, 2013, arXiv:1106.1092 .

[Büh10]     Theo Bühler. Exact categories. Expo. Math. , 28(1):1–69, 2010, arXiv:0811.1480 .

[Che10]     Huayi Chen. Harder-Narasimhan categories. J. Pure Appl. Algebra , 214(2):187–200, 2010, arXiv:0706.2648 .

[Hel58]     Alex Heller. Homological algebra in abelian categories. Ann. of Math. (2) , 68:484–525, 1958, https://doi.org/10.2307/1970153 .

[Kel90]     Bernhard Keller. Chain complexes and stable categories. Manuscripta Math. , 67(4):379–417, 1990, http://dx.doi.org/10.1007/BF02568439 .

[Mey]     Ralf Meyer. Embeddings of derived categories of bornological modules, arXiv:math/0410596 .

[NP]     Hiroyuki Nakaoka and Yann Palu. Mutation via Hovey twin cotorsion pairs and model structures in extriangulated categories, arXiv:1605.05607 .

[Qui73]     Daniel Quillen. Higher algebraic K -theory. I. In Algebraic K -theory, I: Higher K -theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972) , pages 85–147. Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973.

[Rum10]     Wolfgang Rump. Flat covers in abelian and in non-abelian categories. Adv. Math. , 225(3):1589–1615, 2010, http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.03.027 .

[Sch99]     Jean-Pierre Schneiders. Quasi-abelian categories and sheaves. M ém. Soc. Math. Fr. (N.S.) , (76):vi+134, 1999.

[SW11]     Dennis Sieg and Sven-Ake Wegner. Maximal exact structures on additive categories. Math. Nachr. , 284(16):2093–2100, 2011, arXiv:1406.7192 .

[Yon60]     Nobuo Yoneda. On Ext and exact sequences. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I , 8:507–576 (1960), 1960.