Your language?
Dec, 2016
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31

Exponential space と Ran space

X , その 部分 とする する 方法 には なも のがある えば , configuration space symmetric product などである これらは cardinality のものを めてできたものであるが , なる cardinality 部分 めることも えられている Exponential space Ran space などと ばれている ものである Lurie [ Lur ] では , X ではないときは X わる 部分 として されている ここでは exponential space ぶことにし よう

  • X exponential space exp( X )
  • k cardinality k 以下 部分 部分 exp k ( X )

Beilinson Drinfel d [ BD04 ] によると , にこのような えたのは Borsuk Ulam [ BU31 ] らしい chiral algebra sheaf として するための として exponential space いている そのような 利用 たのは Ziv Ran [ Ran93 Ran00 ] らしい

Francis Gaitsgory [ FG12 ] うように , scheme して exponential space scheme として するのは がある えているように , のなす category opposite category からの functor として えるのが さそうである そし exponential space そのものよりも , その sheaf category すべきだろう Exponential space sheaf については , Yanagida [ Yan ] § 1.2 にもまとめられ ている

Cardinality けない exp( X ) については , この Beilinson Drinfel d § 3.4 にいくつかの がまとめられている Lurie [ Lur ] § 3.3 にも かれている

  • X のときには exp( X ) Hausdorff により まる する
  • X ならば , exp( X ) weakly contractible である

また Curtis Nguyen [ CTN85 ] により , X のとき , exp( X ) 2 いて 0 である 部分 ベクトル になる められて いる

cardinality をつけた exp k ( X ) については , Rose [ Rosa ] よると , まず Handel [ Han00 ] ると いようである について しく 調 べられている については , Tuffley [ Tuf03 ] § 1.2 ると よい

S 1 3 以下 部分 exponential space exp 3 ( S 1 ) S 3 であること したのは Bott [ Bot52 ] らしい Rose [ Rosa ] ではその えられている にも Mostovoy [ Mos04 ] による もあることは , この 研究 での んの

  • exp 3 ( S 1 ) ~
= S 3

さらにその した ,

S1 = exp(S1) `→ exp (S1) ~= S3
        1         3

trefoil knot にな ているようで これは Tuffly [ Tuf02 ] ようであるが Tuffley はその exp k ( S 1 ) ホモトピ して いる

  • exp 2 k +1 ( S 1 ) S 2 k +1
  • exp 2 k ( S 1 ) S 2 k - 1

Tuffly にも [ Tuf03 Tuf04 Tuf ] などで exponential space について 調 べて いる

n 2 S n exponential space については , Rose [ Rosb ] コホモロジ 調 ている

Tuffly [ Tuf04 ] などで 調 べられている する , Mostovoy Sadykov [ MS12 ] えられている

(Cardinality ) exponential space としては , Beilinson Drinfel d にある chiral algebra , そしてその Lurie [ Lur09 Lur ] による Beilinson Drinfel d chiral homology して topological chiral homology , それにより extended topological quantum field theory ができると ている

からも 調 べられている えば , Albeverio らの [ AKR98a AKR98b AKLU00 ADL01b ADL01a ] などがある

( ) 部分 ではなく , compact subset closed subset したものは , [ NR10 ] では hyperspace ばれている

  • hyperspace

Vietoris topology ばれるものを れる その compact Hausdorff space から compact Hausdorff space への functor にな ているようで ある

References

[ADL01a]     Sergio Albeverio, Alexei Daletskii, and Eugene Lytvynov. De Rham cohomology of configuration spaces with Poisson measure. J. Funct. Anal. , 185(1):240–273, 2001, arXiv:math/0608338 .

[ADL01b]     Sergio Albeverio, Alexei Daletskii, and Eugene Lytvynov. Laplace operators on differential forms over configuration spaces. J. Geom. Phys. , 37(1-2):15–46, 2001, arXiv:math/0608349 .

[AKLU00]     Sergio Albeverio, Yuri Kondratiev, Eugene Lytvynov, and Georgi Us. Analysis and geometry on marked configuration spaces. In Infinite dimensional harmonic analysis (Kyoto, 1999) , pages 1–39. Gräbner, Altendorf, 2000, arXiv:math/0608344 .

[AKR98a]     S. Albeverio, Yu. G. Kondratiev, and M. Röckner. Analysis and geometry on configuration spaces. J. Funct. Anal. , 154(2):444–500, 1998, http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1997.3183 .

[AKR98b]     S. Albeverio, Yu. G. Kondratiev, and M. Röckner. Analysis and geometry on configuration spaces: the Gibbsian case. J. Funct. Anal. , 157(1):242–291, 1998, http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1997.3215 .

[BD04]     Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld. Chiral algebras , volume 51 of American Mathematical Society Colloquium Publications . American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

[Bot52]     R. Bott. On the third symmetric potency of S 1 . Fund. Math. , 39:264–268 (1953), 1952.

[BU31]     Karol Borsuk and Stanislaw Ulam. On symmetric products of topological spaces. Bull. Amer. Math. Soc. , 37(12):875–882, 1931, http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1931-05290-3 .

[CTN85]     Doug Curtis and Nguyen To Nhu. Hyperspaces of finite subsets which are homeomorphic to  aleph 0 -dimensional linear metric spaces. Topology Appl. , 19(3):251–260, 1985, http://dx.doi.org/10.1016/0166-8641(85)90005-7 .

[FG12]     John Francis and Dennis Gaitsgory. Chiral Koszul duality. Selecta Math. (N.S.) , 18(1):27–87, 2012, arXiv:1103.5803 .

[Han00]     David Handel. Some homotopy properties of spaces of finite subsets of topological spaces. Houston J. Math. , 26(4):747–764, 2000.

[Lur]     Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry VI: 𝔼 [ k ]-Algebras, arXiv:0911.0018 .

[Lur09]     Jacob Lurie. On the classification of topological field theories. In Current developments in mathematics, 2008 , pages 129–280. Int. Press, Somerville, MA, 2009, arXiv:0905.0465 .

[Mos04]     Jacob Mostovoy. Lattices in and finite subsets of a circle. Amer. Math. Monthly , 111(4):357–360, 2004, http://dx.doi.org/10.2307/4145248 .

[MS12]     Jacob Mostovoy and Rustam Sadykov. On the connectivity of finite subset spaces. Fund. Math. , 217(3):279–282, 2012, arXiv:1203.5180 .

[NR10]     Oleh Nykyforchyn and Dušan Repovš. Inclusion hyperspaces and capacities on Tychonoff spaces: functors and monads. Topology Appl. , 157(15):2421–2434, 2010, arXiv:1008.2926 .

[Ran93]     Ziv Ran. Derivatives of moduli. Internat. Math. Res. Notices , (4):93–106, 1993, http://dx.doi.org/10.1155/S1073792893000091 .

[Ran00]     Ziv Ran. Canonical infinitesimal deformations. J. Algebraic Geom. , 9(1):43–69, 2000, arXiv:math/9810041 .

[Rosa]     S. C. F. Rose. A hyperbolic approach to exp 3 ( S 1 ), arXiv:0708.2085 .

[Rosb]     Simon C.F. Rose. On the calculation of H * (exp 3 S n ), arXiv:0805.0151 .

[Tuf]     Christopher Tuffley. Finite subset spaces of closed surfaces, arXiv:math/0311371 .

[Tuf02]     Christopher Tuffley. Finite subset spaces of S 1 . Algebr. Geom. Topol. , 2:1119–1145, 2002, arXiv:math/0209077 .

[Tuf03]     Christopher Tuffley. Finite subset spaces of graphs and punctured surfaces. Algebr. Geom. Topol. , 3:873–904, 2003, arXiv:math/0210315 .

[Tuf04]     Christopher Tuffley. Connectivity of finite subset spaces of cell complexes. Pacific J. Math. , 217(1):175–179, 2004, arXiv:math/0311371 .

[Yan]     Shintarou Yanagida. Jacobi complexes on the Ran space, arXiv:1608.07472 .