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Factorization systems

モデル における fibration trivial cofibration, もしくは trivial fibration cofibration のように , いに lifting (extension) property つような morphism class (subcategory) factorization system という Loregian Virili [ LV ] よると , そのような Mac Lane 1948 [ Mac48 ] れている , しい

Gould [ Gou ] では , Adamek らの [ AHS06 ] として げられて いる

Garner [ Gar ] などによると のような がある

  • orthogonal factorization system [ FK72 ]
  • weak factorization system
  • natural weak factorization system [ GT06 ]
  • (co)reflextive factorization system
  • torsion theory
  • unique factorization system [ Ane ]

Torsion theory factorization system とみなすことができる , というのは Risicky Tholen [ RT07 ] であるが , その にな Cassidy, Hebert, Kelly [ CHK85 ] 1985 されている した として , Loregian Virili [ LV ] triangulated factorization system というものを 導入 して いる

  • triangulated factorization system

Garner “cofibrantly generated” なものを えている そして [ Gar09b ] , small object argument ている このように モデル にな ていなくても weak factorization system があるだけで , いろいろできるようである Garner [ Gar09a ] では , cofibrant replacement により operad などの めることを えて いる

Riehl [ Rie11 ] によると , Grandis Tholen natural weak factorization system weak factorization system cofibration fibration する morphism class colimit limit じているとは らないという するために 導入 された Riehl , natural weak factorization system づき algebraic model structure という model structure している その 使 われている algebraic weak factorization system Grandis Tholen により 導入 されたものであ るが

  • algebraic weak factorization system

Bourke Garner [ BG16a BG16b ] しく 調 べられているので , まずこの 2 んでみるとよいかもしれない

Relative cell complex との については , Athorne [ Ath12 ] されて いる

Gambino Garner [ GG08 ] によると , 理論理 での identity type した weak factorization system , それは groupoid model structure あるようである

Anel [ Ane ] unique factorization system から 生成 される Grothendieck topology について 調 べている Zariski topology étale topology など なものが unique factorization system から 生成 されるようである この Math Overflow する にもあるように , 換環 integral closure なども , この えるら しい

Hilbert category での factorization system えているのは , Heunen [ Heu ] である

2-category でも えられる Clementino Franco [ CLF16 ] など

References

[AHS06]     Jiří Adámek, Horst Herrlich, and George E. Strecker. Abstract and concrete categories: the joy of cats. Repr. Theory Appl. Categ. , (17):1–507, 2006. Reprint of the 1990 original [Wiley, New York; MR1051419].

[Ane]     Mathieu Anel. Grothendieck topologies from unique factorisation systems, arXiv:0902.1130 .

[Ath12]     Thomas Athorne. The coalgebraic structure of cell complexes. Theory Appl. Categ. , 26:No. 11, 304–330, 2012, arXiv:1202.6034 .

[BG16a]     John Bourke and Richard Garner. Algebraic weak factorisation systems I: Accessible AWFS. J. Pure Appl. Algebra , 220(1):108–147, 2016, arXiv:1412.6559 .

[BG16b]     John Bourke and Richard Garner. Algebraic weak factorisation systems II: Categories of weak maps. J. Pure Appl. Algebra , 220(1):148–174, 2016, arXiv:1412.6560 .

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[FK72]     P. J. Freyd and G. M. Kelly. Categories of continuous functors. I. J. Pure Appl. Algebra , 2:169–191, 1972, http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(72)90001-1 .

[Gar]     Richard Garner. Cofibrantly generated natural weak factorisation systems, arXiv:math/0702290 .

[Gar09a]     Richard Garner. A homotopy-theoretic universal property of Leinster’s operad for weak ω -categories. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 147(3):615–628, 2009, arXiv:0804.2663 .

[Gar09b]     Richard Garner. Understanding the small object argument. Appl. Categ. Structures , 17(3):247–285, 2009, arXiv:0712.0724 .

[GG08]     Nicola Gambino and Richard Garner. The identity type weak factorisation system. Theoret. Comput. Sci. , 409(1):94–109, 2008, arXiv:0803.4349 .

[Gou]     Miles Gould. The Categorification of a Symmetric Operad is Independent of Signature, arXiv:0711.4904 .

[GT06]     Marco Grandis and Walter Tholen. Natural weak factorization systems. Arch. Math. (Brno) , 42(4):397–408, 2006.

[Heu]     Chris Heunen. Categorical aspects of polar decomposition, arXiv:1012.4526 .

[LV]     Fosco Loregian and Simone Virili. Factorization systems on (stable) derivators, arXiv:1705.08565 .

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[Rie11]     Emily Riehl. Algebraic model structures. New York J. Math. , 17:173–231, 2011, arXiv:0910.2733 .

[RT07]     Jiří Rosický and Walter Tholen. Factorization, fibration and torsion. J. Homotopy Relat. Struct. , 2(2):295–314, 2007, arXiv:0801.0063 .