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Fiberwise Topology

Grothendieck , scheme B scheme X , つまり

X -→  B

えることで , 相対 (relative) という 導入 した トポロ では

A `→ X

により てきた その 双対 B X

X -→  B

えることである この つの object B fiberwise space いう

これは ほど ではないが , やはり である 1950 60 には , イバ イバ えるときにそれらを つの object として えると 便 であることが されるようにな てきたし , “fiberwise ( イバ )” うことも えられてきた , その 以下 のような されて いる :

B では して なうほとんどの ができる もあり , James により ex-space けられている Reduced twisted cohomology theory える には , その , fiberwise , つまり ex-space えるのが である して “ex-spectrum” いて cohomology するのべきだろう それ ているのが Waldmüller [ Wal ] であり , その には ex-space ex-spectrum についての がまとめられている その にな ているのは , May Sigurdsson [ MS06 ] である ArXiv にもあるが , されているものよりかなり version なので , May ムペ download した がよい とも , ex-spectrum あるいは parametrized spectrum Clapp により [ Cla81 CP84 ] えられたのが のようであ るが

としては , まず James [ Jam71 ] げられる Larry Smith [ Smi70b Smi70a ] にも , がかなり しく いてある Lewis [ Lew85 ] ex-space での exponential law つための などを 調 べて いる

  • B
  • B ex-space
  • B morphism
  • B ex-space morphism
  • B morphism homotopy
  • B ex-space morphism homotopy
  • B ex-spectrum
  • mapping cone
  • suspension
  • join
  • smash product

Fiberwise join , Strøm [ Str72 ] では generalized Whitney sum という いられている

いたように , B でも ( ) ホモロジ できる ( ) ホモロジ することもできるが , ある B , その fiberwise space (ex-space) だけで されているものもある えば , twisted K -theory である

  • ( ) ホモロジ
  • K ( , 3) コホモロジ としての twisted K -theory

Larry Smith B Künneth spectral sequence として cobar Eilenberg-Moore spectral sequence した McClendon [ McC68 ] , Adams spectral sequence えている

Singular cochain complex functor をとると , B X から S * ( B )-algebra S * ( X ) ができる これは 典的 Eilenberg-Moore spectral sequence なる 事実 である またこのことに , B X する 不変 したの , Kuribayashi [ Kur13 Kur12 ] である

Fiberwise simplicial space えることもできる もちろん fiberwise ることができる また fiberwise fibration fiberwise fiber bundle ることもできるので , fiberwise principal bundle えることがで きる これらのことを えているのは , Stevenson Roberts [ RS16 ] ある

  • fiberwise simplicial space とその fiberwise geometric realization
  • fiberwise principal G -bundle

でも , もちろんある object object えることはできる Mac Lane では comma category ばれている

B でも fibration cofibration されるので , モデル として えるのが である これについては Intermont Johnson [ IJ02 ] がある モデル えそれらの いる

  • Lewis [ Lew85 ] による open ex-space
  • Intermont Johnson による (open) ex-space coarse model structure
  • Intermont Johnson による (open) ex-space fine model structure

より いとして May Sigurdsson “parametraized homotopy theory” [ MS06 ] がある そこでは モデル Quillen による モデル Strøm よる モデル mix できるという Cole [ Col06 ] 使 われている より topologically enriched category ホモトピ philosophy えているよ うに

model category comma category model structure えられてい Hirschhorn [ Hir03 ] にあるが , そこで なしに べられている について [ Hir ] えられている

また , ホモトピ なうための spectrum parametrized 導入 されて いる

Shulman [ Shu08 ] , fiberwise space, May らの では parametrized space homotopy sheaf という するものであるが , そこでは May-Sigurdsson みで されている Shulman , locally constant sheaf 被覆 する B homotopy sheaf B fibration , じがする

Shulman [ Shu08 ] , Intermont Johnson fine model structure いているが , それは Lurie [ Lur09 ] § 7.1.2 paracompact Hausdorff X parametrized space category X simplicial sheaf category (Quillen になるよ うに ) するためにも いられている

Ando Blumberg Gepner [ ABGa ] , ( , 1)-category みでの parametrized space parametrized spectrum えている その にな てい るのは , Ando Blumberg Gepner Hopkins Rezk [ ABG + b ] ある

Parametrized spectrum いて , spectrum fiber とする bundle できる Lind [ Lin16 ] Ando らの [ ABG + b ] , そして Cohen Jones [ CJ17 ] など

BG parametrized spectrum twisted cohomology などに 使 われるが , この , アプロ として , Σ ( G + ) ring spectrum , その module spectrum category える , という アイデア もある それが , May-Siguardsson BG parametrized spectrum model category Quillen equivalent であること , Lind Malkiewich [ LM ] している

Twisted K -theory 使 われていることから , より parametrized spectrum 使 , より ようというのは アイデア である , Schreiber らの [ BMSS ] はそのような みである

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