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Finite space やそれに類する空間

finite space という

トポロジ Hausdorff ( T 2 ) であることが , には discrete topology ているとみなすのが である T 1 ならば discrete だからである

ところが にも いものがある えば , n 2 n + 2 からなる finite space ホモトピ であるというのは , える

Finite space ホモトピ 調 べた としては , McCord [ McC66 ] Stong [ Sto66 ] 有名 である かい としては , Peter May ムペ にある “Finite Topological Spaces” “Finite Spaces and Simplicial Complexes” がある Peter May finite space する いているようで , さんから , その 稿 ここ から ることを えてもら また , Barmak thesis Springer Lecture Notes から ている [ Bar11a ] これらを めれば , finite space いか かるだろう

McCord による くべき , finite space ホモト でみる りは じものであるということである Finite space する Alexandroff により [ Ale37 ] えられたものであ るが

  • finite T 0 -space しそれと ホモトピ する
  • しそれと ホモトピ finite T 0 -space する

Alexandroff , には というよりも poset している

  • X T 0 X partial order する

finite space S 0 non-Hausdorff suspension として れる

  • non-Hausdorff cone non-Hausdorff suspension
  • S 0 (discrete topology) n non-Hausdorff suspension S n ( S 0 ) n S n ホモトピ

S n ( S 0 ) 2 n + 2 つが , これが S n finite space model であるこ とが , Barmak Minian [ BM07 ] されている Cianci Ottina [ COb ] による , これは May により 2003 された たようである , [ BM08b BM08a ] , simple homotopy weak homotopy type finite space えることを , での する finite space などに ついて えている

Suspension にも mappig cylinder homotopy colimit などが えられて いる

  • non-Hausdorff mapping cylinder
  • non-Hausdorff homotopy colimit

non-Hausdorff mapping cylinder Barmak Minian [ BM08b ] 導入 された Barmak [ Bar11b ] , それを いた poset する Quillen Theorem A ている Fernández Minian [ FM ] , その いる

Homotopy colimit Grothendieck construction については , Fernández Minian [ FM16 ] るとよい

Cianci Ottina [ COb ] では , ホモトピ であるが ではない finite space モデル られている

Cianci Ottina [ COa ] , Hurewicz cofibration けを ている

Finite space する して うために , finite space ( linear span) にある れることを えているのは , Foissy Malvenuto Patras [ FMP16 ] である n ∪{ 0 } , n であるから , finite space 算集 である この , sum join される えようというのである , linear span B -algebra (homotopy Batalin-Vilovisky algebra) つことを している , [ FM15 FFM17 ] , finite space 全体 linear span combinatorial Hopf algebra され 調 べられて いる

Simple homotopy type については , Barmak Minian Osaki による [ Osa99 ] がある Barmak Minian [ BM12 ] strong homotopy という 導入 , finite T 0 -space については strong homotopy しい ホモトピ であることを している

Meyer Nest [ MN09 MN12 ] などで finite space C * -algebra について 調 ている その , accordion space という finite space しているよう である

  • accordion space

, より Alexandroff space C * -algebra についても 調 べている Alexandroff space とは , 部分 になる である Riemann として える Alexandrov space ばれるものが あるので しやすいが , nLab によると , この Alexandorff space Paul Alexandroff にちなんで けれらたもので , Alexander Alexandrov よるらしい

Finite T 0 -space finite poset Alexandroff space preordered set できる

  • Alexandroff space
  • Alexandroff space preordered set
  • T 0 Alexandroff space poset

Alexandroff space については , Kukiela [ Kuk10 ] とそこに げられている るとよい Finite T 0 -space する Barmak Minian Stong えられている

Alexandroff space category preorder category めた , duality については , Caramello [ Car ] category theory から かれている Peter May にも しく かれている

Martins-Ferreira [ MF14 ] , にこの 全体 しようとしている その では , preorder である fibrous preorder という され , その category subcategory , category になるものがあることが され ている

  • fibrous preorder
  • spatial fibrous preorder

ではなく , finite cell complex するものを 調 べている [ Bas10 ] いる

Cerdeiro Minian [ CM14 ] , Whitehead 2 K ( π, 1) subcomplex K ( π, 1) ? という [ Whi41 ] finite space することを えて いる

Mrozek らは [ DJK + ] , simplicial complex combinatorial dynamical systems , それを finite space いて 調 べている

, finite space 使 われている としては , Janelidze Sobral における descent する 仕事 [ JS02a JS02b ] がある

References

[Ale37]     P. S. Alexandroff. Diskrete Räume. Matematiceskii Sbornik , 2:501–518, 1937.

[Bar11a]     Jonathan A. Barmak. Algebraic topology of finite topological spaces and applications , volume 2032 of Lecture Notes in Mathematics . Springer, Heidelberg, 2011, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-22003-6 .

[Bar11b]     Jonathan Ariel Barmak. On Quillen’s Theorem A for posets. J. Combin. Theory Ser. A , 118(8):2445–2453, 2011, arXiv:1005.0538 .

[Bas10]     Tathagata Basak. Combinatorial cell complexes and Poincaré duality. Geom. Dedicata , 147:357–387, 2010, arXiv:0807.4165 .

[BM07]     Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. Minimal finite models. J. Homotopy Relat. Struct. , 2(1):127–140, 2007, arXiv:math/0611156 .

[BM08a]     Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. One-point reductions of finite spaces, h -regular CW-complexes and collapsibility. Algebr. Geom. Topol. , 8(3):1763–1780, 2008, arXiv:0801.0007 .

[BM08b]     Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. Simple homotopy types and finite spaces. Adv. Math. , 218(1):87–104, 2008, arXiv:math/0611158 .

[BM12]     Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. Strong homotopy types, nerves and collapses. Discrete Comput. Geom. , 47(2):301–328, 2012, arXiv:0907.2954 .

[Car]     Olivia Caramello. A topos-theoretic approach to Stone-type dualities, arXiv:1103.3493 .

[CM14]     Manuela Ana Cerdeiro and Elias Gabriel Minian. A new approach to Whitehead’s asphericity question. J. Homotopy Relat. Struct. , 9(2):339–348, 2014, arXiv:1203.5348 .

[COa]     Nicolás Cianci and Miguel Ottina. A combinatorial characterization of Hurewicz cofibrations between finite topological spaces, arXiv:1802.10006 .

[COb]     Nicolás Cianci and Miguel Ottina. Smallest homotopically trivial non-contractible spaces, arXiv:1608.05307 .

[DJK + ]     Tamal K. Dey, Mateusz Juda, Tomasz Kapela, Jacek Kubica, Michal Lipinski, and Marian Mrozek. Persistent Homology of Morse Decompositions in Combinatorial Dynamics, arXiv:1801.06590 .

[FFM17]     Frédéric Fauvet, Loïc Foissy, and Dominique Manchon. The Hopf algebra of finite topologies and mould composition. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) , 67(3):911–945, 2017, arXiv:1503.03820 .

[FM]     Ximena Fernández and Elias Gabriel Minian. The cylinder of a relation and generalized versions of the Nerve Theorem, arXiv:1801.07235 .

[FM15]     Loïc Foissy and Claudia Malvenuto. The Hopf algebra of finite topologies and T -partitions. J. Algebra , 438:130–169, 2015, arXiv:1407.0476 .

[FM16]     Ximena Fernández and Elías Gabriel Minian. Homotopy colimits of diagrams over posets and variations on a theorem of Thomason. Homology Homotopy Appl. , 18(2):233–245, 2016, arXiv:1407.5646 .

[FMP16]     Loïc Foissy, Claudia Malvenuto, and Frédéric Patras. Infinitesimal and B -algebras, finite spaces, and quasi-symmetric functions. J. Pure Appl. Algebra , 220(6):2434–2458, 2016, arXiv:1403.7488 .

[JS02a]     George Janelidze and Manuela Sobral. Finite preorders and topological descent. I. J. Pure Appl. Algebra , 175(1-3):187–205, 2002, http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00134-2 . Special volume celebrating the 70th birthday of Professor Max Kelly.

[JS02b]     George Janelidze and Manuela Sobral. Finite preorders and topological descent. II. Étale descent. J. Pure Appl. Algebra , 174(3):303–309, 2002, http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00046-4 .

[Kuk10]     Michał Jerzy Kukieła. On homotopy types of Alexandroff spaces. Order , 27(1):9–21, 2010, arXiv:0901.2621 .

[McC66]     Michael C. McCord. Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces. Duke Math. J. , 33:465–474, 1966, http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077376525 .

[MF14]     Nelson Martins-Ferreira. From A-spaces to arbitrary spaces via spatial fibrous preorders. In Categorical methods in algebra and topology , volume 46 of Textos Mat./Math. Texts , pages 221–235. Univ. Coimbra, Coimbra, 2014, arXiv:1307.8307 .

[MN09]     Ralf Meyer and Ryszard Nest. C * -algebras over topological spaces: the bootstrap class. M ünster J. Math. , 2:215–252, 2009, arXiv:0712.1426 .

[MN12]     Ralf Meyer and Ryszard Nest. C * -algebras over topological spaces: filtrated K-theory. Canad. J. Math. , 64(2):368–408, 2012, arXiv:0810.0096 .

[Osa99]     Takao Osaki. Reduction of finite topological spaces. Interdiscip. Inform. Sci. , 5(2):149–155, 1999, http://dx.doi.org/10.4036/iis.1999.149 .

[Sto66]     R. E. Stong. Finite topological spaces. Trans. Amer. Math. Soc. , 123:325–340, 1966, https://doi.org/10.2307/1994660 .

[Whi41]     J. H. C. Whitehead. On adding relations to homotopy groups. Ann. of Math. (2) , 42:409–428, 1941, https://doi.org/10.2307/1968907 .