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Flow

X しているとき , x X orbit として X られる であり , えば 微分 微分 gradient から られる Morse gradient から られる flow , するのが Morse 理論 である

Gradient flow cycle にな ている flow はないが , より ベクトル flow では , のようにな ている 部分 もある このようなより flow につい ては , Conley [ Con78 ] による 研究 がある

  • Conley index

Conley index isolated invariant set S , その index pair ( N,L ) から , N∕L ホモトピ タイプ として される Salamon [ Sal85 ] では homotopy index ばれている この Salamon , ホモトピ して あり , である ホモトピ タイプ 不変 とするのを にしたときは , いた

Conley index えられているが , その という 2 ある , つまり して にすること , そして することで ある

については , Robbin Salamon [ RS88 ] , Mrozek [ Mro90 ] , Franks Richeson [ FR00 ] , Szymczak [ Szy95 ] , Mischaikow, Mrozek, Weilandt [ MMW16 ] などがある

として すのは discrete Morse theory である つまり , regular CW complex えて , その face poset する , という アプロ である これを ているものとして , Mrozek [ Mro17 ] ある

Mrozek らは [ DJK + ] , simplicial complex combinatorial dynamical systems , それを finite space いて 調 べている

References

[Con78]     Charles Conley. Isolated invariant sets and the Morse index , volume 38 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics . American Mathematical Society, Providence, R.I., 1978.

[DJK + ]     Tamal K. Dey, Mateusz Juda, Tomasz Kapela, Jacek Kubica, Michal Lipinski, and Marian Mrozek. Persistent Homology of Morse Decompositions in Combinatorial Dynamics, arXiv:1801.06590 .

[FR00]     John Franks and David Richeson. Shift equivalence and the Conley index. Trans. Amer. Math. Soc. , 352(7):3305–3322, 2000, arXiv:math/9910171 .

[MMW16]     Konstantin Mischaikow, Marian Mrozek, and Frank Weilandt. Discretization strategies for computing Conley indices and Morse decompositions of flows. J. Comput. Dyn. , 3(1):1–16, 2016, arXiv:1511.04426 .

[Mro90]     Marian Mrozek. Leray functor and cohomological Conley index for discrete dynamical systems. Trans. Amer. Math. Soc. , 318(1):149–178, 1990, http://dx.doi.org/10.2307/2001233 .

[Mro17]     Marian Mrozek. Conley-Morse-Forman theory for combinatorial multivector fields on Lefschetz complexes. Found. Comput. Math. , 17(6):1585–1633, 2017, arXiv:1506.00018 .

[RS88]     Joel W. Robbin and Dietmar Salamon. Dynamical systems, shape theory and the Conley index. Ergodic Theory Dynam. Systems , 8 * (Charles Conley Memorial Issue):375–393, 1988.

[Sal85]     Dietmar Salamon. Connected simple systems and the Conley index of isolated invariant sets. Trans. Amer. Math. Soc. , 291(1):1–41, 1985, http://dx.doi.org/10.2307/1999893 .

[Szy95]     A. Szymczak. The Conley index for discrete semidynamical systems. Topology Appl. , 66(3):215–240, 1995, http://dx.doi.org/10.1016/0166-8641(95)0003J-S .