Fractal

Fractal とは 厳 密 な 定 義 がある 数 学 用 語 なのだろうか 。 何 となく , 自 己 相 似 的 , つまり その 一 部 を 拡 大 すると 全体 と 似 た 構 造 を 持 つものを 指 す 言 葉 のように 思 える 。 有名 な 例 としては 次 のようなものがある 。

• Cantor set
• Sierpinski gasket
• Menger sponge
• Julia set
• Mandelbrot set

Mandelbrot set のように , 離 散 力 学 系 からできるものが 多 い 。

Funar と Neretin [ FN ] によると , Cantor set 上 の 微分 構 造 を 最 初 に 考 えたのは Sullivan [ Sul88 ] らしい 。 また , 彼 等 によると , Cantor set などの diffeomorphism group や mapping class group は Richard Thompson の 群 やその 一 般 化 にな っ ているようで ある 。

Mandelbrot set などの 1 変 数 複 素 関 数 を 繰 り 返 すことによる 離 散 力 学 系 からできる ものについては , Dolotin と Morozov [ VA ] が 代 数 幾 何 学 視 点 から 扱 うことができること を 発 見 している 。 そのことにより , 他 の 分 野 との 新 しい 関 係 が 色 々 発 見 されていて , とて も 興 味 深 い 。 例 えば , Kononov と Morozov [ KM ] は colored HOMFLY polynomial との 関 係 を 調 べている 。

Leinster [ Lei11 ] は category theory の 言 葉 で , fractal のような 構 造 を 記 述 しようと している 。 その 流 れで p 進整数 環 ℤ の 特 徴 付 けを Bhattacharya [ Bha15 ] が 得 て いる 。

References