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Hochschild (co)homology の一般化

Hochschild (co)homology , associative algebra して されたものであ るが , えられていて

Associative algebra にまず ておくべきなのが , DGA (differential graded algebra) への とその Shukla (co)homology [ Shu61 ] との ある

  • DGA Hochschild (co)homology
  • associative algebra Shukla (co)homology

Baues Pirashvili [ BP ] によると , Shukla cohomology りである A がその ground ring k projective なら A Hochschild cohomology つが , そうでない resolution てから Hochschild cohomology らないといけない それを たのが Shukla cohomology A ground ring projective , Hochschild cohomology なる

その resolution には , DGA model structure いる つまり associative algebra A 微分 DGA とみなし , DGA での cofibrant replacement A c をとる その DGA としての Hochschild cohomology A Shukla cohomology である

Shukla cohomology した として , derived Hochschild functor ばれる ものがある Avramov, Iyengar, Lipman, Nayak [ AILN10 ] Shaul [ Sha ] などで 調 べられている

  • derived Hochschild functor

DGA Hochschild (co)homology , “many objectification” である dg category されている もちろん , k associative algebra “many objectification” である k -linear category してはも くから えられている Mitchell [ Mit72 ] だろうか Hochschild-Mitchell (co)homology ばれることもあるよ うである Yetter [ Yet09 ] では , k -linear category deformation theory のために 使 われている

  • dg category Hochschild (co)homology
  • Hochschild-Mitchell (co)homology

DG category して されるということは , dg enhancement triangulated category しても されるということである

  • (dg enhancement ) triangulated category Hochschild (co)homology

Hochschild homology , Kaledin [ Kal15 ] にもあるように bimodule する trace えることができる Kaledin はその から , non-additive trace functor により twist した Hochschild homology cyclic homology して いる

  • twisted Hochschild homology

, scheme しては Loday [ Lod86 ] , Weibel [ Wei96 ] , Swan [ Swa96 ] による がある Kuznetsov [ Kuz ] によると , これらと , scheme bounded derived category dg enhancement いた することは , Keller [ Kel98 ] Toën [ Toë07 ] から かるようである

, Hochschild homology , ring spectrum やその “many objectification” である spectral category にも されている Topological Hochschild homology とも ばれる Cyclic homology なども spectrum level られて いる

Mac Lane homology [ ML57 ] topological Hochschild homology られて いる Pirashvili Waldhausen [ PW92 ] である

このように , associative algebra しては , まず associative algebra としての Hochschild (co)homology, DGA とみなした Hochschild (co)homology (Shukla (co)homology), そして ring spectrum とみなした topological Hochschild (co)homology (Mac Lane (co)homology) という 三種 Hochschild (co)homology されるの , それらの すべきだろう えば , Baues Pirashvili [ BP ] など

Maszczyk [ Mas ] によると , Yetter [ Yet98 Yet01 ] , Abelian monoidal category monoidal functor する Hochschild cochain , associative algebra する Hochschild cochain えているようで ある

cohomology での Tate cohomology として negative side Tate-Hochschild cohomology することもできる

換環 には , higher order Hochschild (co)homology できる Lurie [ Lur09 Lur ] Costello [ Cos10 ] による , より ホモトピ ( higher category ) ものもある

Higher order Hochschild homology q -analogue Banerjee [ Ban ] により れている

Bialgebra algebra したのが , Kaygun [ Kay07 ] ある Braided version” もある Baez [ Bae94 ] 導入 した Akrami Majid [ AM04 ] braided cyclic cohomology 導入 調 べている Negron [ Neg ] braided Hochschild cohomology multiplicative structure 調 べて いる

  • braided Hochschild (co)homology
  • braided cyclic (co)homology

Ringed space する Keller [ Kel98 ] にある Loday suggestion [ Lod86 ] によるらしい

Algebraic K -theory cyclic homology なども めて みとして , triangulated derivator いた , Tabuada localizing invariant [ Tab08 ] ある

  • dg category derivator localizing invariant

Kasparov KK -theory のように , bivariant なものも えられている Kaygun Khalkhali [ KK10 ] など Kaygun [ Kay07 ] module algebra する Hochschild homology している

Fuchs, Schaumann, Schweigert [ FSS17 ] , k -algebra k -linear monoidal category えて 0 Hochschild homology している Extended TQFT 使 うことを えているようである

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