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代数的 K 理論の一般化と変種

K 理論 , などの して されたものである affine scheme には じものなので , , つまり variety scheme するのはそれほど なことではない Atiyah-Hirzebruch spectral sequence つなど , トポロジ Atiyah-Hirzebruch spectral sequence については , Friedlander Suslin [ FS02 ] という がある Equivariant については Levine Serpé [ LS08 ] ある

その scheme equivariant algebraic K -theory , Thomason [ Tho87 ] による としては , Merkurjev による [ Mer05 ] がある

2 については , Hesselholt Madsen real algebraic K -theory がある この から download できる

  • real algebraic K -theory

かれらは , “duality structure” exact category から “real symmetric spectrum” することを している それを ring spectrum できるように しているのが , Dotto Ogle [ DO ] である

Chern character (?) として , Beilinson regulator map ばれる [ Beĭ84 ] がある

  • regulator

Math Overflow のこの する るとよい したことの への link もある そこで れられていない として , Goncharov survey [ Gon05 ] がある また Tamme thesis [ Tam14 ] にも Dirichlet から まる regulator にまとめられているので , それを ると よい

する 典的 K 理論 としては , Quillen [ Qui96 ] による つとは らない K 0 がある それの higher Mahanta [ Mah ] により れた

  • nonunital Quillen K -theory

いづれにせよ , algebraic K -theory とは , あるいはある , あるいは スペクトラム させ , その ホモトピ たものである ホモト , でその 調 べようというのは アイデ である

そのため , 1970 には から machine につい 研究 された

そのを アイデア “topological ring” したものとして Waldhausen algebraic K -theory of space がある これは Goodwillie calculus 研究 より , Waldhausen モデル , つまり weak equivalence cofibration について えている そのような 現在 では Waldhausen category ばれることが いようである Weiss [ Wei99 ] Blumberg Mandell [ BM11 ] など

Triangulated derivator しては , Maltsiniotis [ Mal07 ] したものが ある

  • derivator K -theory

現在 では , 典的 スペクトラム りに EKMM スペクトラム あるいは symmetric spectrum などが いられるようになり , algebraic K -theory その がでてきた それについて Elmendorf Mandell [ EM06 ] がある らは , symmetric monoidal category から K -theory spectrum つけたのである , その multicategory であることに づき [ EM09 ] いて いる

そのような ring spectrum algebraic K -theory について , Quillen localization theorem [ Qui73 ] Barwick Lawson [ BL ] により されて いる

このような ring spectrum algebraic K -theory にあ Stable homotopy theory からは , chromatic tower との である それを したのは Rognes らしい

stable -category algebraic K -theory えられるようにな Blumberg Gepner Tabuada [ BGT13 ] である Algebraic K -theory universality する みとして stable -category 使 えることを していて , idempotent complete stable -category -category algebraic K -theory functor であると ている

  • stable -category algebraic K -theory

, [ BGT16 ] では , K -theory of endomorphisms 方法 している K -theory of endomorphisms とは , Almkvist [ Alm74 Alm78 ] Grayson [ Gra77 Gra78 ] により 70 導入 されたもので , crystalline cohomology [ Blo77 Sti82 ] Goodwillie calculus [ LM12 ] などと あるら しい

  • K -theory of endomorphisms

Category として operad (multicategory) えると , -category algebraic K -theory -operad することも えられる それは , Nikolaus [ Nik14 ] なわれている

Algebraic K -theory topological K -theory するものとして semi-topological K -theory ばれるものがある

K 理論 にな ているのは , k k -vector space であるが , それをより するという みもある Bruns Gubeladze による polytope から された いて される K 理論 [ BG03 ] である による [ BG04 ] もある

しては , その から deformation K -theory unitary deformation K -theory というものも られる G. Carlsson によ された その motivation , algebraic K -theory 調 べることである

Algebraic K -theory homology theory ようとすると , がある えば Mayer-Vietoris などである もちろん , この しようという みも なわれている Gersten [ Ger71 ] functor homology theory できるためにはど ういう かを えた その として Garkusha [ Gar07 ] ある

Kasparov bivariant K -theory Cortiñas Thom [ CT07 ] えてい , それも homology theory える Univariant にした homology theory Weibel homotopy K -theory する

  • Weibel homotopy K -theory [ Wei89 ]
  • Cortiñas-Thom algebraic KK -theory

Kasparov KK -theory Cortiñas-Thom algebraic KK -theory との につ いては , Ellis [ Ell14 ] がある Ellis countable group する equivariant している

Garkusha [ Gar14 ] もある Kontsevich noncommutative stable homotopy category [ Kon09 ] Tabuada motivator [ Tab08 ] えた がよいのかもしれ ない

  • Garkusha algebraic bivariant K -theory

Mitchener [ Mit ] , Bartels Lück [ BL06 ] homotopy K -theory して した assembly map Cortinas-Thom algebraic KK -theory して いる

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